Tangente hiperbólica

Gráfico da função cotangente hiperbólica.

A tangente hiperbólica é uma função hiperbólica. É obtida a partir da razão entre o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico, de forma similar à relação trigonométrica da tangente. É representado por ${\text{tgh}}(x)$ ou $\tanh(x)$ e expresso matematicamente por:

$\tanh(x)={\operatorname {senh} (x) \over \cosh(x)}={{e^{x}-e^{-x} \over 2} \over {e^{x}+e^{-x} \over 2}}$

Que, por fim, resulta em:

$\tanh(x)={e^{x}-e^{-x} \over {e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}$

Características

O domínio da função está definido para $(-\infty ,+\infty )$ e seu contradomínio fica definido para o intervalo $(-1,1)$. A função apresenta uma assíntota horizontal em $y=-1$ e em $y=1$.

Derivada

A derivada da função é:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\,\mathrm {tanh} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}=\operatorname {sech} ^{2}x$

Identidades trigonométricas

A função tangente hiperbólica, como demonstra o teorema de adição, pode-se ser sintetizada como:

$\tanh(\alpha +\beta )={\frac {\tanh \alpha +\tanh \beta }{1+\tanh \alpha \,\tanh \beta }}$

De modo que quando $\alpha =\beta$, temos

$\tanh(2\alpha )={\frac {2\tanh \alpha }{1+\tanh ^{2}\alpha }}$

De modo similar, podemos encontrar

$\tanh(\alpha -\beta )={\frac {\tanh \alpha -\tanh \beta }{1-\tanh \alpha \,\tanh \beta }}$