Função de Heaviside

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa
Gráfico da função de Heaviside

Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau), desenvolvida pelo matemático e engenheiro eletricista Oliver Heaviside, é uma função singular e descontínua com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo.[1] Nos casos em que o argumento é nulo seu valor assume a média dos limites laterias da função (pela esquerda e pela direita) calculados no ponto em que a abscissa vale "a". Normalmente a função é usada como uma distribuição, mas costuma-se definir por:

sendo sgn a função sinal.

A função de Heaviside com descontinuidade em x = a é da forma:

A função de Heaviside admite diversas representações. Em especial, como limite de funções contínuas, ver seção correspondente.

Aproximações contínuas para a função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

A expressão (1) define U(x) como uma função descontínua. Em algumas aplicações, é útil partir de funções contínuas adequadas e definir U(x) como um limite. Por exemplo:

onde erfc(x) é a função erro complementar = 1 - erf(x), Si é a função seno integral, rect é a função retangular e tri(x) é a função triangular.[2]

Relação com outras funções[editar | editar código-fonte]

Função sinal[editar | editar código-fonte]

A expressão (1) deixa clara a relação algébrica entre U(x) e sgn(x). Podemos escrever também:

Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

A distribuição (ou função generalizada) Delta de Dirac δ(x) pode ser vista informalmente como a derivada da função de passo de Heaviside. De outra maneira, ao efetuarmos a diferença entre duas funções degrau, como U(x-(a-ε/2))-U(x-(a+ε/2)) (com ε positivo), e tendermos o valor de ε à zero, temos que o valor da diferença tende à infinito e assume o valor de Função Delta de Dirac. Nesse processo impõe-se que a área abaixo do gráfico da diferença das Heavisides seja constante e com valor unitário[3]. Ou seja, define-se:

Mais formalmente, pode-se escrever (3c) da seguinte maneira:

com U(ε,x) dada por alguma das expressões (2a) a (2f), que são diferenciáveis em x = 0.[4]

Função retangular[editar | editar código-fonte]

A função retangular pode ser escrita como:

Função pulso[editar | editar código-fonte]

Uma função importante em aplicações é a função pulso, definida por:

Função pulso: pode ser representada pela subtração de funções de Heaviside, em que para valores entre a e b, onde a < b, a função resultante tem valor unitário, e para valores menores que a e maiores que b a função é nula.

Ela é representada em termos da diferença de duas funções de Heaviside:

Gráfico da função de heaviside como processo de limite da função rampa

Função de Heaviside como processo de limite da função rampa[editar | editar código-fonte]

Também chamada de aproximação linear da função de Heaviside, é utilizada quando se torna necessário definir a transição 0 e ε. Para isso, supomos que tal ocorre de forma linear. Definimos a função:[5]

Sabendo que ε é um numero infinitamente pequeno, pode-se interpretar a função U(t) como:

Ou seja, quanto menor o valor de , mais íngreme é a rampa resultante e, quando o mesmo tende a zero, a função tende a infinito naquele ponto, resultando na Delta de Dirac.

Transformada de Laplace da função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

A transformada de Laplace da função de Heaviside é obtida direto da definição. Considerando a > 0:

Caso particular em que a = 0

Visto que a função de Heaviside assume valor 1 a partir de a = 0, a mesma possui a mesma transformada de Laplace que o inteiro 1.

Aproximações analíticas[6][editar | editar código-fonte]

Para uma aproximação suave da função degrau, pode-se usar a função logística:

onde muito alto corresponde a uma transição mais nítida em . Pega-se , a igualdade se mantém no limite:

Há outras aproximações analíticas suaves para a função degrau. Algumas possibilidades são:

Esses limites se mantêm pontuais e no sentido de distribuições. Em geral, no entanto, a convergência pontual não precisa implicar em convergência distributiva, e vice-versa, convergência distributiva não precisa implicar em convergência pontual. (Entretanto, se todos os membros de uma seqüência convergente de funções pontuais estiverem uniformemente limitados por alguma função "legal", a convergência também se mantém no sentido de distribuições.

Forma analítica[editar | editar código-fonte]

Embora as aproximações analíticas da função degrau unitária sejam conhecidas e utilizadas há muito tempo, apenas recentemente foi encontrada uma expressão analítica exata:

No entanto, esta função é mal definida na origem, pois H (0) diverge.

Aplicações função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

  • Na área de mecânica dos sólidos costuma-se representar matematicamente os carregamentos retangulares uniformes com a Função de Heaviside, entre outras funções singulares;
  • Na eletricidade usa-se do artificio oferecido pela função degrau para representar chaves que ligam e desligam.
Circuito RC em série, onde ε é a fonte de alimentação
  • Circuito RC:

Supondo um circuito RC com capacitor inicialmente descarregado ( q(0) = 0) , capacitância e resistências desconhecidas e com a tensão ligada no instante a e desligada no instante b, deseja-se saber a corrente que passa pelo sistema:


  1. Gráfico da corrente em um circuito RC ligado e desligado em período a+b

Com isso chegamos na seguinte expressão para a corrente num circuito RC com capacitância e resistência desconhecidos cuja fonte é ligada e desligada em instantes a e b, respectivamente:

Referências

  1. SAUTER, Esequia; AZEVEDO, Fábio; STRAUCH, Irene. (15 de maio de 2019). «A função de Heaviside». Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de dezembro de 2019 
  2. Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 4, pp. 55-73, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1
  3. SAUTER, Esequia; AZEVEDO, Fábio; STRAUCH, Irene (15 de maio de 2019). «A função Delta de Dirac». Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de dezembro de 2019 
  4. Bracewell, R. - op. cit., Cap. 5, pp. 74-104
  5. SOUZA, Fellipe (6 de novembro de 2017). «Função Rampa e Delta de Dirac» (PDF). Universidade Federal do Recôncavo da Bahia. Consultado em 20 de dezembro de 2019 
  6. Venetis (2014). «An Analytic Exact Form of the Unit Step Function» (PDF). Consultado em 26 de maio de 2019 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Commons
O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Função de Heaviside