Função de Heaviside

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Gráfico da função de Heaviside

Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau) é uma função singular e função descontínua com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. Nos casos em que o argumento é nulo seu valor assume a média dos limites laterias da funçao (pela esquerda e pela direita) calculados no ponto em que a abscissa vale "a". Normalmente a função é usada como uma distribuição, mas costuma-se definir:

sendo sgn a função sinal.

A função de Heaviside com descontinuidade em x = a é da forma:

A função de Heavisde admite diversas representações. Em especial, como limite de funções contínuas, ver seção correspondente.

Aproximações contínuas para a função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

A expressão (1) define U(x) como uma função descontínua. Em algumas aplicações, é útil partir de funções contínuas adequadas e definir U(x) como um limite. Por exemplo:

onde erfc(x) é a função erro complementar = 1 - erf(x), Si é a função seno integral, rect é a função retangular e tri(x) é a função triangular[1] .

Relação com outras funções[editar | editar código-fonte]

Função sinal[editar | editar código-fonte]

A expressão (1) deixa clara a relação algébrica entre U(x) e sgn(x). Podemos escrever também:

Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

A distribuição (ou função generalizada) Delta de Dirac δ(x) pode ser vista informalmente como a derivada da função de passo de Heaviside. De outra maneira, ao efetuarmos a diferença entre duas funções degrau, como por exemplo U(x-(a-ε/2))-U(x-(a+ε/2)) (com ε positivo), e tendermos o valor de ε à zero, temos que o valor da diferença tende à infinito e assume o valor de Função Delta de Dirac. Nesse processo impõe-se que a área abaixo do gráfico da diferença das Heavisides seja constante e com valor unitário. Ou seja, defini-se:

Mais formalmente, pode-se escrever (3c) da seguinte maneira:

com U(ε,x) dada por alguma das expressões (2a) a (2f), que são diferenciáveis em x = 0[2] .

Função retangular[editar | editar código-fonte]

A função retangular pode ser escrita como:


Função pulso[editar | editar código-fonte]

Uma função importante em aplicações é a função pulso, definida por:

é representada em termos da diferença de duas função de Heaviside:

Gráfico da função de heaviside como processo de limite da função rampa

Função de Heaviside como processo de limite da função rampa[editar | editar código-fonte]

Também chamada de aproximação linear da função de Heaviside, a utilizamos quando se torna necessário definir a transição 0 e ε. Para isso, supomos que tal ocorre de forma linear. Definimos a função:

Sabendo que ε é um numero infinitamente pequeno, pode-se interpretar a função U(t) como:

Transformada de Laplace da função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

A transformada de Laplace da função de Heaviside é obtida direto da definição. considere a > 0:


Caso particular a = 0

Visto que a funçao de Heaviside assume valor 1 a partir de a = 0, possui a mesma transformada de Laplace que o inteiro 1.

Aplicações Função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

  • Na área de mecânica dos sólidos costuma-se representar matematicamente os carregamentos retangulares uniformes com a Função de Heaviside, entre outras funções singulares;
  • Na eletricidade usa-se do artificio oferecido pela função degrau para representar chaves que ligam e desligam.
Circuito RC em série, onde ε é a fonte de alimentação
  • Circuito RC:

Supondo um circuito RC com capacitor inicialmente descarregado ( q0 = 0) , capacitância e resistências desconhecidas e com a tensão é ligada no instante a e desligada no instante b, deseja-se saber a corrente que passa pelo sistema:

  1. Gráfico da corrente em um circuito RC ligado e desligado em período a+b

Com isso chegamos na seguinte expressão para a corrente num circuito RC com capacitância e resistência desconhecidos cuja fonte é ligada e desligada em instantes a e b:


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Referências

  1. Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 4, pp. 55-73, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1
  2. Bracewell, R. - op. cit., Cap. 5, pp. 74-104

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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