Função de Heaviside

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Gráfico da função de Heaviside

Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau) é uma função singular e função descontínua com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. Nos casos em que o argumento é nulo seu valor assume a média dos limites laterias da funçao (pela esquerda e pela direita) calculados no ponto em que a abscissa vale "a". Normalmente a função é usada como uma distribuição, mas costuma-se definir:

 U(
x) = \frac{1+\sgn(x)}{2} =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2} , & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases} \;\;\;\;\; (1)

sendo sgn a função sinal.

A função de Heaviside com descontinuidade em x = a é da forma:

 U(x-a)  =
  \begin{cases} 0,           & x < a
             \\ \frac{1}{2}, & x = a
             \\ 1,           & x > a
  \end{cases} \;\;\;\;\;

A função de Heavisde admite diversas representações. Em especial, como limite de funções contínuas, ver seção correspondente.

Aproximações contínuas para a função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

A expressão (1) define U(x) como uma função descontínua. Em algumas aplicações, é útil partir de funções contínuas adequadas e definir U(x) como um limite. Por exemplo:

U(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{\pi} \; \arctan \left( \frac{x}{\epsilon}\right) \right] \;\;\;\;\; (2a)

U(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0^{-}} \; \frac{1}{2} \; \text{erfc} \left( \frac{x}{\epsilon}\right) \;\;\;\;\; (2b)

U(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{\pi} \; Si \left( \frac{\pi x}{\epsilon}\right) \right] \;\;\;\;\; (2c)

U(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\epsilon} \; \text{rect} \left( \frac{u}{\epsilon}\right) du \;\;\;\;\; (2d)

U(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\epsilon} \; \text{tri} \left( \frac{u}{\epsilon} \;-\; \frac{1}{2} \right) du \;\;\;\;\; (2e)

U(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0+} \left[ 1 \;-\; e^{- \left( \frac{x}{\epsilon} \right)} \right] \;\;\;\;\; (2f)

onde erfc(x) é a função erro complementar = 1 - erf(x), Si é a função seno integral, rect é a função retangular e tri(x) é a função triangular[1] .

Relação com outras funções[editar | editar código-fonte]

Função sinal[editar | editar código-fonte]

A expressão (1) deixa clara a relação algébrica entre U(x) e sgn(x). Podemos escrever também:

 \sgn(x) \;=\; 2U(x) \;-\; 1 \;\;\;\;\; (3a)

Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

A distribuição (ou função generalizada) Delta de Dirac δ(x) pode ser vista informalmente como a derivada da função de passo de Heaviside. De outra maneira, ao efetuarmos a diferença entre duas funções degrau, como por exemplo U(x-(a-ε/2))-U(x-(a+ε/2)) (com ε positivo), e tendermos o valor de ε à zero, temos que o valor da diferença tende à infinito e assume o valor de Função Delta de Dirac. Nesse processo impõe-se que a área abaixo do gráfico da diferença das Heavisides seja constante e com valor unitário. Ou seja, defini-se:

 U(x) = \int_{-\infty}^{x} \delta(u) \; du \;\;\;\;\; (3b)

 \delta(x) = \frac{d}{dx} \; U(x) \;\;\;\;\; (3c)

Mais formalmente, pode-se escrever (3c) da seguinte maneira:

 \delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \; \frac{d}{dx} \; U(\epsilon,x)

com U(ε,x) dada por alguma das expressões (2a) a (2f), que são diferenciáveis em x = 0[2] .

Função retangular[editar | editar código-fonte]

A função retangular pode ser escrita como:

 \text{rect}(x) \;=\; U \left( x \;+\; \frac{1}{2} \right) \;-\; U \left( x \;-\; \frac{1}{2} \right) \;\;\;\;\; (3d)


Função pulso[editar | editar código-fonte]

Uma função importante em aplicações é a função pulso, definida por:

 p(x)  =
  \begin{cases} 0,           & x < a
             \\ 1,           & a < x < b
             \\ 0,           & x > a
  \end{cases} \;\;\;\;\;

é representada em termos da diferença de duas função de Heaviside:

 p(x)= U(x-a)-U(a-b),      a < b
Gráfico da função de heaviside como processo de limite da função rampa

Função de Heaviside como processo de limite da função rampa[editar | editar código-fonte]

Também chamada de aproximação linear da função de Heaviside, a utilizamos quando se torna necessário definir a transição 0 e ε. Para isso, supomos que tal ocorre de forma linear. Definimos a função:

U\epsilon(t) = \begin{cases} 0,           & t \leqslant 0
             \\ \frac{t}{\epsilon},           & 0 \leq x \leq {\epsilon}
             \\ 1,           & t > a
  \end{cases} \;\;\;\;\;

Sabendo que ε é um numero infinitamente pequeno, pode-se interpretar a função U(t) como:

U(t) = \lim_{\epsilon \to 0+} \;  U\epsilon(t)

Transformada de Laplace da função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

A transformada de Laplace da função de Heaviside é obtida direto da definição. considere a > 0:


\mathcal{L}({U}(t-a)) = \int^\infty_{0} \mathrm{e}^{-st} U(t-a)\,\mathrm{d}t   = \int^a_{0} \mathrm{e}^{-st} * 0\ + \int^\infty_{a} \mathrm{e}^{-st} * 1\,\mathrm{d}t =          \frac{e^{-as}}{s}


Caso particular a = 0


\mathcal{L}({U}(t-0)) = \int^\infty_{0} \mathrm{e}^{-st} U(t-0)\,\mathrm{d}t   = \int^\infty_{0} \mathrm{e}^{-st} * 1 dt\ = \frac{1}{s}
Visto que a funçao de Heaviside assume valor 1 a partir de a = 0, possui a mesma transformada de Laplace que o inteiro 1.

Aplicações Função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

  • Na área de mecânica dos sólidos costuma-se representar matematicamente os carregamentos retangulares uniformes com a Função de Heaviside, entre outras funções singulares;
  • Na eletricidade usa-se do artificio oferecido pela função degrau para representar chaves que ligam e desligam.
Circuito RC em série, onde ε é a fonte de alimentação
  • Circuito RC:

Supondo um circuito RC com capacitor inicialmente descarregado ( q0 = 0) , capacitância e resistências desconhecidas e com a tensão é ligada no instante a e desligada no instante b, deseja-se saber a corrente que passa pelo sistema:

  1. v(t)=vo(u(t-a)-u(t-b))
  2. v(t)=R*i(t)+\frac{1}{C}*(q0+\int\limits_{0}^{\infty} i(\tau)d\tau)
  1. R*\mathcal{L}\{i(t)\}+\frac{1}{C}\mathcal{L}\{ \int\limits_{0}^{t}i(\tau) d\tau\}=\mathcal{L}\{v(t)\}
  2. R*I(s)+\frac{1}{C}*\frac{I(s)}{s}=v0[\frac{e^{-as}}{s}-\frac{e^{-bs}}{s}]
  3. I(s)=\frac{v0C}{RCs+1}*[e^{-as}-e^{-bs}] = \frac{v0}{R}*\frac{1}{s+\frac{1}{RC}}*[e^{-as}-e^{-bs}]
  1. \mathcal{L}^{-1}\{I(s)\}=\frac{v0}{R}*\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+\frac{1}{RC}}*e^{-as}-\frac{1}{s+\frac{1}{RC}}*e^{-bs}\}
    Gráfico da corrente em um circuito RC ligado e desligado em período a+b
  2. i(t)=\frac{v0}{R}*[u(t-a)e^{-\frac{t-a}{RC}}-u(t-b)e^{-\frac{t-b}{RC}}]

Com isso chegamos na seguinte expressão para a corrente num circuito RC com capacitância e resistência desconhecidos cuja fonte é ligada e desligada em instantes a e b:

i(t)  =
  \begin{cases} 0,           & t < a
             \\ \frac{vo}{R}e^{-\frac{t-a}{RC}},           & a < t < b
             \\ \frac{vo}{R}e^{-\frac{t-a}{RC}}[e^{\frac{a}{RC}}-e^{\frac{b}{RC}}],           & t > b
  \end{cases} \;\;\;\;\;


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Referências

  1. Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 4, pp. 55-73, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1
  2. Bracewell, R. - op. cit., Cap. 5, pp. 74-104

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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