Delta de Dirac

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Representação geométrica da função Delta de Dirac

Em matemática, a função delta de Dirac, também conhecida como função δ, é uma distribuição na reta real, a qual vale infinito no ponto zero e é nula no restante da reta. A integral da função Delta de Dirac em toda reta é definida como tendo valor 1. Foi introduzida pelo físico teórico Paul Dirac em 1930 em seu livro ‘’The Principles of Quantum Mechanics’[1]. Seu análogo no domínio discreto é o delta de Kronecker,o qual vale 0 e 1.

Pode-se pensar no Delta de Dirac como um retângulo infinitamente estreito e infinitamente alto, com área igual à unidade. Em muitos casos, pode ser encarado como o limite de funções que tendem a estas condições.Além disso, se enfocarmos no contexto de processamento de sinais, ela é frequentemente interpretada como um impulso unitário.

A função delta de Dirac como limite ( no sentido de distribuicao ) da sequência na distribuição normal com o centro centrado em zero.

Matematicamente, o Delta de Dirac não pode ser caracterizado propriamente como uma função, mas sim como um objeto matemático. Isso porque qualquer função que valha zero em todos os pontos exceto um, deve ter integral nula em toda a reta. Entretanto, quando em uma integral, ganha sentido matemático e, para a maioria dos propósitos, pode ser encarado e manipulado como uma função.

Visão Geral[editar | editar código-fonte]

Apesar do nome, a função Delta de Dirac não é verdadeiramente uma função. δ(x) difere de uma função g(x)=0 apenas em zero, e portanto as duas são funções iguais quase sempre. Segundo a teoria de integração de Lebesgue, duas funções integráveis e iguais quase sempre, têm,necessariamente, integrais idênticas. Entretanto, a integral da função g(x) é zero, e a da função Delta de Dirac vale 1 por definição.

Desconsiderando o formalismo matemático, em termos práticos o Delta pode ser encarado como uma função na maioria dos casos. Geralmente é usado para modelar uma função impulso, isto é, modelar situações pontuais (como massas e cargas pontuais) ou instantâneas (adição instantânea de uma substância em uma reação química ou a dinâmica de um martelo batendo fortemente em um sistema massa mola, por exemplo). 

História[editar | editar código-fonte]

Joseph Fourier nos apresentou o que é chamado nos dias de hoje de “Teorema de integral de Fourier” na sua obra “ Théorie analytique de la chaleur” na forma: [2]

Jean-Baptiste Joseph Fourier

A equação acima equivale a introdução da função- δ no seguinte formato: [3]

Anos mais tarde o matemático francês, Augustin-Louis Cauchy expressou o mesmo teorema no formato de funções exponenciais: [4][5]

Cauchy percebeu que em alguns casos a ordem da integração teria um resultado significativo no resultado final, conseguindo comprovar esta premissa por meio da teoria das distribuições. [6] A equação encontrada por Cauchy pode ser organizada para se assemelhar com a formula inicial encontrada por Fourier, representando a função- δ como:

Augustin-Louis Cauchy,1857.

Na qual a função- δ e representada como:

A interpretação rigorosa da forma exponencial encontrada por Cauchy e como também as varias limitações sobre a função f necessárias para suas aplicações se extenderam por muitos séculos. Os problema relatados pela interpretação clássica serão explicados a seguir: [7] O maior inconveniente da classica transformacao de Fourier é a quantidade muito restrita de funções ( originais ) que podem ser efetivamente computadas. Ou seja, é necessário que essas funções decrescam suficientemente rápido para zero ( próximo de infinito ) para assegurar que exista a integral de Fourier. Por exemplo, a transformação de Fourier para funções simples como as polinomiais não existe na forma clássica.

A extensão da transformação de Fourier clássica foi importante para que houvesse uma forma de aumentar o numero de funções, que ate então não eram muitas, para um numero considerável de classes a serem transformadas , tal fato ajudou a superar muitos obstáculos vivenciados por matemáticos da época.

Desenvolvimentos posteriores incluíram generalizações a integral de Fourier, “inicialmente com a teoria de Plancherel “pathbreaking L2-theory (1910)” , sucessivamente pelo trabalho de Wiener e Bochner ( em meados de 1930) e culminando com a amalgamação para a teoria de distribuição de L. Schwartz ( 1945 )”, [8] guiando assim para o desenvolvimento da função delta de Dirac.

Em 1827 em um texto de Augustin Louis Cauchy [9] uma formula infinitesimal com altura infinita para uma função delta de impulso unitário ( uma versão infinitesimal da distribuição de Cauchy ) foi descoberta.

Siméon Denis Poisson considerou esta questão apropriadamente associada com o estudo da propagacao de ondas como foi também foi vista por Gustav Kirchhoff posteriormente. Kirchhoff e Hermann von Helmholtz também introduziram o impulse unitário como um limite gaussiano, que também corresponde ao ponto encontrado por Lord Kelvin como uma fonte de calor. No final do século dezenove, Oliver Heaviside usou a serie de Fourier para manipular o impulso unitário. [10] A função delta de Dirac como e conhecida nos dias de hoje foi introduzida como uma “notação conveniente” por Paul Dirac em seu livro The Principles of Quantum Mechanics,1930. Ele a chamou de “função delta”, pois foi analogamente encontrada pela função discreta de Kronecker delta.

Definição[11][editar | editar código-fonte]

Para definir matematicamente a função Delta de Dirac, é conveniente utilizar outra função singular, a chamada função de Heaviside, também conhecida por função salto ou degrau. Considera-se o Delta como o limite de funções pulso unitário , num curto curto intervalo de tempo , quando o parâmetro tende a zero:

Para representar um impulso num instante de tempo que não zero, realiza-se um deslocamento na equação anterior:

Observa-se que as áreas dos retângulos formados pelas funções pulso unitário valem 1 independentemente do valor de . Ou seja:

Assim, considerando que quando , define-se a função Delta de Dirac como sendo

A função Delta de Dirac pode também ser definida em termos de outras funções com propriedades análogas. Por exemplo:

Resumidamente, pode se escrever:

É possível também encarar a distribuição Delta como um limite de aproximações da identidade.

Propriedades[12][editar | editar código-fonte]

Propriedade da Filtragem:[editar | editar código-fonte]

Uma propriedade interessante da Delta de Dirac é a propriedade da filtragem:

Para chegar a este resultado utilizou-se o fato de que a é nula quando t≠a, então os limites de integração podem ser alterados para a-ε e a+ε. E como é contínua em t=a seu valor neste intervalo não será muito diferente de , pode-se dizer que aproximadamente,

[12]

Transformada de Laplace da Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Partindo-se da definição da Transformada de Laplace e utilizando a Propriedade da Filtragem,

.

Transformada de Fourier da Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Assim como a Transformada de Laplace da função Delta de Dirac sua Transformada de Fourier também é obtida através da propriedade da filtragem,

.

Aplicação em Física[editar | editar código-fonte]

Em física, entre outras aplicações, ela é usada para representar densidades de objetos pontuais (e.g., carga pontual) [13] e na normalização de operadores contínuos (e.g.,operador posição) da mecânica quântica. Além disso, podemos utilizá-la na mecânica clássica para representar um impulso sendo aplicado em um corpo.

Aplicação em Engenharias[editar | editar código-fonte]

Engenharia Elétrica[editar | editar código-fonte]

Em circuitos elétricos RLC, RL e RC, por exemplo, quando aplicamos uma fonte no circuito vemos uma saída diferente da entrada, essa saída atípica é composta pela resposta do circuito a excitação da fonte externa que depende das características da função de entrada e das características dos componentes do circuito como a capacitância, indutância e resistência. Como capacitores e indutores envolvem derivadas na relação corrente e tensão, teremos uma equação diferencial para o circuito. Esta equação pode ser resolvida usando a equação característica do circuito.

A fonte excitante desse circuito pode ser modelada por uma Delta de Dirac, e o circuito responderá a esta excitação de uma forma muito particular como exemplificado adiante. Essa variação instantânea de tensão ou corrente pode ser pensada como uma chave abrindo ou fechando rapidamente, por exemplo, gerando um impulso de modelação instantânea. Este tempo de atuação é muito pequeno o que nos possibilita modelar o circuito usando as definições e propriedades da Delta de Dirac.

Exemplo: Circuito RLC em série sofrendo um chaveamento instantâneo. Seja a indutância, a capacitância, a resistência e delta de Dirac aplicada em t=0.

(Equação modeladora do circuito)

Deixando a equação em função da carga:

Aplicando a Transformada de Laplace e considerando a carga e a corrente zero em t=0:

(Equação no espaço das transformadas)

Observação: Interessante notar que caso a delta estivesse acompanhada de outra fonte, poderíamos usar a propriedade da filtragem listada acima quando calculada a transformada.

Para =20Ω, =1H e =0.0001F, temos a tensão no capacitor modelada pela seguinte equação:

Análise qualitativa da resposta:

Devido ao número de Euler estar elevado a um expoente negativo, quando o tempo tende ao infinito, a amplitude da tensão tende a 0. Esta resposta é uma característica de fenômenos em circuitos modelados pela delta de Dirac, pois o circuito recebe uma carga de energia no instante de aplicação que a longo prazo é drenada pela resistência do circuito que consome corrente, de acordo com o efeito Joule.

Engenharia Mecânica[editar | editar código-fonte]

Em Engenharia Mecânica, a função delta de Dirac é utilizada para modelagem de estruturas como, por exemplo, vigas. Nestes casos, a função delta de Dirac representa forças/momentos pontuais sendo aplicados em nossa estrutura.

Aplicação em Estatística[editar | editar código-fonte]

Em estatística, ela permite generalizar as fórmulas para variáveis aleatórias discretas e contínuas, por exemplo:

O valor esperado de uma variável aleatória contínua é escrito como:

Por outro lado, o valor esperado de uma variável aleatória discreta é escrito como:

O uso da Delta de Dirac permite unificar estas duas fórmulas, definindo-se a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória discreta por:

Pente de Dirac[editar | editar código-fonte]

Um Pente de Dirac é uma série infinita de funções delta de dirac espaçadas por intervalos de T.

Conhecido por ser um trem de impulso uniforme encontrado por meio do delta de Dirac ,também conhecido como função shah, cria uma função de amostragem, usualmente utilizada em processamento de sinais digitais e para análise de sinais de tempo discretos. O pente de Dirac é dado pela soma infinita, cujo limite pode ser entendido pelo sentido de distribuição,

que e a sequencia massas pontuais de cada uma das integrais.

Mediante a uma constante de normalizacao global, o pente de Dirac é igual a sua própria transformada de Fourier. Isso é muito significativo, pois se f for qualquer função de Schawartz, então a periodização de f será dada pela Convolução

Em particular,

E precisamente como a “Poisson summation formula”. [14]

Integral[editar | editar código-fonte]

Em certo sentido, pode-se dizer que a delta de Dirac é a derivada da função de passo Heaviside, ou que a integral da delta de Dirac é a função de passo Heaviside:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Dirac, Paul (1930). Principles os Quantum Mechanics [S.l.: s.n.] 
  2. JB Fourier (1822). The Analytical Theory of Heat English translation by Alexander Freeman, 1878 ed. The University Press [S.l.] p. 408. , cf p 449 and pp 546-551. The original French text can be found here.
  3. Hikosaburo Komatsu (2002). «Fourier's hyperfunctions and Heaviside's pseudodifferential operators». In: Takahiro Kawai; Keiko Fujita. Microlocal Analysis and Complex Fourier Analysis World Scientific [S.l.] p. 200. ISBN 981-238-161-9. 
  4. Tyn Myint-U.; Lokenath Debnath (2007). Linear Partial Differential Equations for Scientists And Engineers 4th ed. Springer [S.l.] p. 4. ISBN 0-8176-4393-1. 
  5. Lokenath Debnath; Dambaru Bhatta (2007). Integral Transforms And Their Applications 2nd ed. CRC Press [S.l.] p. 2. ISBN 1-58488-575-0. 
  6. Ivor Grattan-Guinness (2009). Convolutions in French Mathematics, 1800–1840: From the Calculus and Mechanics to Mathematical Analysis and Mathematical Physics, Volume 2 Birkhäuser [S.l.] p. 653. ISBN 3-7643-2238-1. 
  7. Dragiša Mitrović; Darko Žubrinić (1998). Fundamentals of Applied Functional Analysis: Distributions, Sobolev Spaces CRC Press [S.l.] p. 62. ISBN 0-582-24694-6. 
  8. Manfred Kracht; Erwin Kreyszig (1989). «On singular integral operators and generalizations». In: Themistocles M. Rassias. Topics in Mathematical Analysis: A Volume Dedicated to the Memory of A.L. Cauchy World Scientific [S.l.] p. 553. ISBN 9971-5-0666-1. 
  9. Laugwitz 1989, p. 230
  10. A more complete historical account can be found in van der Pol & Bremmer 1987, §V.4.
  11. Sauter, Esequia (2015). Notas de Aula [S.l.: s.n.] 
  12. a b Notas de Aula da Prof. Irene Strauch, UFRGS
  13. Utah State University, Department of Physics, Phys 3750, Wave Phenomena, Spring 2012, The Dirac Delta Function [em linha]
  14. Córdoba 1988; Hörmander 1983, §7.2

[1] [2]

  1. Kreyszig, Erwin (2006). Advanced engineering mathematics [S.l.: s.n.] 
  2. Dorf, Richard (2012). Introduction to eletric circuits [S.l.: s.n.]