Delta de Dirac

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A função Delta de Dirac ou função impulso é a representação matemática para uma força intensa que atua em um ponto em um curto intervalo de tempo. Por esta força ocorrer muito rapidamente é difícil determina-la. Há varias funções com essa característica, por isso tem-se a necessidade de representá-la matematicamente.[1]

A distribuição delta de Dirac.

O Delta de Dirac ou, como costuma ser impropriamente chamada, a função Delta de Dirac, introduzida por Paul Dirac, é algo semelhante a uma função que teria as seguintes propriedades:[2]

  • \delta(x - x_{0}) = 0 \mbox{ se } x \ne x_{0}
  • \delta(x = x_0) = \infty
  • \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1

Mas, como essas condições não são consistentes com a definição de função, diz-se que a Delta de Dirac é uma distribuição.

A Delta de Dirac é normalmente representada por δ(x) e seu análogo no domínio discreto é o Delta de Kronecker.

A Delta de Dirac possui a seguinte propriedade:[2]

\int\delta(x-x^\prime)f(x)dx = f(x^\prime)

Esta propriedade é conhecida como Propriedade da Filtragem. Note que a integral deve estar com limites tal que pegue o ponto x^\prime.

Definição[editar | editar código-fonte]

A função Delta de Dirac pode ser definida pela função Heaviside quando o parâmetro e→0:

f_e(t-a)=\frac{1}{2}e[u(t-(a-e)) - u(t-(a+e))].

Como a área da função de Heaviside é 1 para t>a, então a área do retângulo formado pela f_e é igual a 1.

A função Delta de Dirac pode ser definida pela função Heaviside quando o parâmetro ε→0:

f_\epsilon(t-a)=\frac{1}{2}e[u(t-(a-\epsilon)) - u(t-(a+\epsilon))].

Como a área da função de Heaviside é 1 para t>a, então a área do retângulo formado pela f_e é igual a 1. Portanto,

A=\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} f_\epsilon(t-a)dt = \int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} \frac{1}{2\epsilon}dt = 1.

E com isso nota-se que quando ε→0 a função cresce indefinidamente. Então define-se a função Delta de Dirac como:

 \delta(t-a)=\lim_{\epsilon \to 0} f_\epsilon(t-a). [1]

Simbolicamente, é comum escrever:

\delta(x-x_0) = \begin{cases} \infty, & x = x_0 \\ 0, & x \ne x_0 \end{cases}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1

É possível também encarar a distribuição Delta como um limite de aproximações da identidade.

Propriedades[1] [editar | editar código-fonte]

Propriedade da Filtragem:[editar | editar código-fonte]

Uma propriedade interessante da Delta de Dirac é a propriedade da filtragem:

\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-a)f(t)dt=f(a).

Para chegar a este resultado utilizou-se o fato de que a \delta(t-a) é nula quando t≠a, então os limites de integração podem ser alterados para a-ε e a+ε. E como  f(t) é contínua em t=a seu valor neste intervalo não será muito diferente de f(a), pode-se dizer que aproximadamente,

\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-a)f(t)dt=\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon}\delta(t-a)f(t)dt\approx f(a)\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon}\delta(t-a)dt=f(a)[1]

Transformada de Laplace da Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Partindo-se da definição da Transformada de Laplace e utilizando a Propriedade da Filtragem,

\mathcal{L}(\delta(t-a))=\int_{0}^{\infty}\delta(t-a)e^{-st}dt=e^{-as}.

Transformada de Fourier da Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Assim como a Transformada de Laplace da função Delta de Dirac sua Transformada de Fourier também é obtida através da propriedade da filtragem,

\mathcal{F}(\delta(t-a))=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-a)e^{-i\omega t}dt=e^{-i\omega a}.

Aplicação em Física[editar | editar código-fonte]

Em física, entre outras aplicações, ela é usada para representar densidades de objetos pontuais (e.g., carga pontual) [3] e na normalização de operadores contínuos (e.g.,operador posição) da mecânica quântica.

Aplicação em Estatística[editar | editar código-fonte]

Em estatística, ela permite generalizar as fórmulas para variáveis aleatórias discretas e contínuas, por exemplo:

O valor esperado de uma variável aleatória contínua é escrito como:

  • E[X] = \int x f(x) dx

Por outro lado, o valor esperado de uma variável aleatória discreta é escrito como:

  • E[X] = \sum x_i p(x_i)

O uso da Delta de Dirac permite unificar estas duas fórmulas, definindo-se a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória discreta por:

  • f(x) = \sum p(x_i) \delta(x - x_i)

Integral[editar | editar código-fonte]

Em certo sentido, pode-se dizer que a delta de Dirac é a derivada da função de passo Heaviside, ou que a integral da delta de Dirac é a função de passo Heaviside:

 H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} \mathrm{d}t

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d Notas de Aula da Prof. Irene Strauch, UFRGS
  2. a b A Função Delta de Dirac, notas de aula de Mecânica Quântica por Marcus A. M. de Aguiar, no site www.ifi.unicamp.br
  3. Utah State University, Department of Physics, Phys 3750, Wave Phenomena, Spring 2012, The Dirac Delta Function [em linha]