Integral

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Disambig grey.svg Nota: Para outros significados, veja Integral (desambiguação).

No cálculo, a integral[nota 1] de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano[1] e também surge naturalmente em dezenas de problemas da física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. [carece de fontes?]

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.[1]

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.[2] A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.

Definição formal e notação[editar | editar código-fonte]

Integral definida[editar | editar código-fonte]

Integrando a área de uma função abaixo de uma curva

Seja uma função contínua definida no intervalo . A integral definida desta função é denotada como[3]:


Em linguagem matemática Em português
é a integral da função , no intervalo entre e . é o sinal da integral, é o integrando e os pontos e são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.
Onde é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] (com ) e com imagem no conjunto dos números reais
Integral da função sobre o intervalo . O valor da soma de Riemann truncada em sub-intervalos é indicada por .

A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório[4]. Isto porque, intuitivamente, a integral de sobre o intervalo pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base tendendo a zero e altura , onde o produto é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas (áreas infinitesimais), fornece a área entre a curva e o eixo das abscissas. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:[3]


O que é o integral (animação)
Em linguagem matemática Em português
A integral de no intervalo [a,b] é igual ao limite do somatório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por . O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A definição de integral aqui apresentada é chamada de soma de Riemann, mas há outras formas (equivalentes).
onde Comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os números .
onde Equivale a um ponto num intervalo de até da função quando o valor do número de termos tende a infinito ou equivalentemente quando o valor de tende a 0,nesse caso a letra define o enésimo termo de uma sequência infinita ligada aos valores que cada assumirá.
onde Valor ("altura") da função quando x é igual ao ponto amostral , definido como um ponto que está no subintervalo (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo).

Uma integral definida pode ser própria ou imprópria, convergente ou divergente. Neste último caso, ela representa uma área infinita.

Integral indefinida[editar | editar código-fonte]

A integral indefinida de é a função (ou família de funções) definida por [5][6]:

em que é uma constante indeterminada e é uma antiderivada ou primitiva de , i.e. . A notação é lida como: a integral de em relação a .

É importante saber-se distinguir a integral definida da integral indefinida. Uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida é uma função (ou uma família de funções). Como consideramos a integral como uma antiderivada, ou seja, o inverso da derivada, colocamos a constante pois a derivada da constante resulta em , reatando assim apenas a derivada de que nada mais é do que a própria função . Logo, temos uma primitiva para cada valor de [7].

Teorema Fundamental do Cálculo[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teorema fundamental do cálculo

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece que se for contínua em , então[8]:

onde, é uma antiderivada de .

De forma mais geral, este teorema afirma que se é uma função contínua em um intervalo então, para qualquer , temos que:

é uma antiderivada de definida para todo . Ou seja:

.

Seja é uma função não-negativa definida em um intervalo e . Para cada ponto , a área sob o gráfico de restrita ao intervalo é função de , i.e. . Neste caso, como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo temos que a derivada da área é igual a função , i.e. .

Cálculo de integrais definidas[editar | editar código-fonte]

Suponhamos uma função e duas funções em escada e , onde para todo . Como as funções em escada possuem áreas definidas como retângulos, podemos achar funções em escada que formem retângulos com a bases cada vez mais estreitas, assim a soma das áreas dos retângulos se aproximam cada vez mais da área de . Portanto, temos que

Onde e são os intervalos de integração. A base de cada retângulo de e é dada por

onde n é um número inteiro positivo que representa o número de retângulos, ou o número de subintervalos de . A área de cada retângulo é dada pelo produto entre sua base e sua altura. Portanto temos a área de cada retângulo:

onde é um número inteiro positivo, que representa o subintervalo, ou seja, . O nos dá a posição no eixo de cada subintervalo.

Já que e são funções em escada, pela relação temos que . Portanto

Isso significa que a integral de qualquer função de área mensurável está entre a área de todos os retângulos superiores e retângulos inferiores. Portanto, a área de qualquer função obedece à equação acima.

Pelas duas equações anteriores fica claro a razão da integral ser denotada com um , ele significa um intervalo (retângulo) infinitesimal, que surge quando tende ao infinito.

Integral de polinômios[editar | editar código-fonte]

Começando pela desigualdade[9][10]

Multiplicamos todos os termos por

Fazendo e para ficamos com

Portanto

Podemos, fazendo uso da propriedade aditiva das integrais[11], generalizar para todo intervalo :

Que também pode ser escrito como:

Exemplo de integração de polinômios[editar | editar código-fonte]

Pelas propriedades das integrais, a constante fica fora da integral, portanto obtemos

Passo-a-Passo[editar | editar código-fonte]

Fórmula das Primitivas[editar | editar código-fonte]

Exemplo:

Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em seguida ser efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de X pelos valores do intervalo. Feito isso, usa-se o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.

No intervalo (0,3)

Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral.

Gera-se a outra função, que será usada para substituir os valores do intervalo.

Para x = 0

Para x = 3

Aplicação do teorema fundamental do Cálculo[editar | editar código-fonte]

Aproximações da integral de √x de 0 a 1, com  5 amostras à direita (acima) e  12 amostras à esquerda (abaixo)

Exemplos de integração[editar | editar código-fonte]

Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns:

(Integral da função constante)
(Integral da função f(x) = x )

Por definição a barra é utilizada com o significado da diferença

Aplicações de integrais na Física[editar | editar código-fonte]

Uma das mais famosas aplicações das integrais é no conceito físico de trabalho. Na Física, o trabalho é definido como a quantidade de energia transferida ao aplicar-se uma força produzindo um deslocamento. Matematicamente, o trabalho realizado por uma força constante é expresso pela equação[12]:

Onde é o trabalho (medido em Joules), a força (medida em newtons) e o deslocamento (medido em metros). Portanto, se temos uma força não constante, que varia em função da posição, temos que somar cada quantidade de trabalho produzida pela força em um deslocamento infinitesimal. Assim podemos integrar a força em relação ao deslocamento[13]:

onde é a força em função da posição, e representa um deslocamento infinitesimal. Com base nas definições de integral, fica claro que esta integral representa a soma de cada trabalho exercido por uma força em deslocamentos infinitesimais.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Suponhamos que para mover uma partícula se aplica uma força dada pela função[14]

onde é a posição da partícula. Para calcularmos o trabalho realizado ao mover a partícula da posição até à posição , integramos a função em relação à posição:

Integrais em coordenadas polares[editar | editar código-fonte]

A integral pode ser generalizada para funções polares considerando funções polares em escada assim como na integral de funções em coordenadas cartesianas[15]. Definindo uma função polar e duas funções polares em escada e que dividem a área sob em subintervalos abertos tal que , temos cada subintervalo de como um arco de circunferência de raio e de ângulo radianos (o mesmo para ). Através da equação do arco de circunferência[16], temos que a área de cada subintervalo de é dada por

e de por

Logo, as áreas sob e são dadas pelo somatório da área de cada subintervalo, o que é dado pelas integrais

Em que representa um intervalo infinitesimal. Por conseguinte temos as desigualdades

Logo

E esta é a definição da integral de uma função polar.

Definições de integral[editar | editar código-fonte]

Para definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo:

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Em Portugal, a comunidade técnica utiliza integral como nome masculino. Por exemplo: o integral de f (x) em [a, b].

Referências

  1. a b Charles Doss, An Introduction to the Lebesgue Integral, [em linha]
  2. John Radford Young, The Elements of the Integral Calculus: With Its Applications to Geometry and to the Summation of Infinite Series. Intended for the Use of Mathematical Students in Schools and Universities (1839), Section I, On the Integration of Differential Expressions of a Single Variable, Chapter I, Fundamental Principles of Integration, p.1 [google books]
  3. a b Stewart (2002), p. 378.
  4. W3C (2006), Arabic mathematical notation (em inglês)
  5. Piskounov, Nikolai Semenovich; Cálculo Diferencial e Integral; Edições Lopes da Silva; 12ª edição, 2002; 2 vols.
  6. Stewart (2002), p. 401.
  7. Stewart, James. Cálculo - Volume 1. [S.l.: s.n.] 360 páginas 
  8. Howard, Anton (2009). Cálculo - Volume 1 8 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788560031634 
  9. Apostol, Tom. Cálculo, volume 1. [S.l.: s.n.] 
  10. «Prove a formula for b^p - a^p and a resulting inequality - Stumbling Robot». Stumbling Robot (em inglês). 10 de julho de 2015 
  11. Apostol, Tom. Cálculo, volume 1. [S.l.: s.n.] 
  12. Stewart, James. Cálculo - Volume 1. [S.l.: s.n.] 404 páginas 
  13. Stewart, James. Cálculo - Volume 1. [S.l.: s.n.] 405 páginas 
  14. Stewart, James. Cálculo - Volume 1. [S.l.: s.n.] 405 páginas 
  15. Apostol, Tom. Cálculo - Volume 1. [S.l.: s.n.] 131 páginas 
  16. «Área do setor circular». Brasil Escola. Consultado em 16 de junho de 2018. 

Ver também[editar | editar código-fonte]