Teorema de Green

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Em matemática, o teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva, em outras palavras, ele estabelece uma relação entre a integral dupla de uma região D e a integral de linha ao longo de sua fronteira.[1] Este teorema foi demonstrado pelo matemático britânico George Green em 1828 e é um caso particular do Teorema de Stokes.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Folha de rosto do livro Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism, de 1828, em que se encontra a primeira demonstração do teorema de Green.

Seja C uma curva simples, fechada e derivável, D a região do plano delimitada por C, e P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas numa região contendo D,[2] então:

Para evidenciar o fato de que a primeira integral é definida ao longo de uma curva fechada, por vezes esta é representada por:

Relação com o teorema de Stokes[editar | editar código-fonte]

O teorema de Green é um caso especial do Teorema de Kelvin-Stokes quando é aplicado a uma região no plano-xy.[3]

Podemos aumentar o campo vetorial de duas dimensões a um de três dimensões no qual a componente z é constante e igual a zero.

Vamos escrever F como uma função vetorial . Começaremos com o lado esquerdo do teorema de Green:

Aplicando o teorema de Kelvin-Stokes:

A superfície é simplesmente a região no plano , com o vetor normal unitário apontando na direção positiva de z, de tal maneira que coincida com as definições de "orientação positiva" para ambos os teoremas (Green e Stokes). Logo, se verifica .

Desse modo, a expressão dentro da integral fica:

Desta maneira obtemos o lado direito do teorema de Green:

Relação com o teorema da divergência[editar | editar código-fonte]

Outro modo de análise se dá pelo teorema da divergência, o qual pode ser aplicado a qualquer número de dimensões e se trata de um caso especial do teorema de Stokes. Em duas dimensões, é equivalente ao teorema de Green.[3]

onde é o vetor normal apontando para fora da fronteira.

Para entender, considere a unidade normal na parte direita da equação. Como é um vetor apontando tangencialmente através de uma curva, e a curva C está orientada de maneira positiva através da fronteira, um vetor normal apontando para fora da fronteira seria aquele que aponta em 90º horizontalmente, o qual poderia ser . O módulo de este vetor é . Portanto .

Tomando as componentes de , o lado direito se converte em

que por meio do teorema de Green resulta em:

Cálculo de área[editar | editar código-fonte]

A utilização do teorema de Green permite calcular a área delimitada por uma curva parametrizada e fechada.

Seja um domínio do plano ao qual o teorema de Green se aplica e seja a fronteira, orientada positivamente em relação a . Temos:[4]

e tendo respectivamente e , ou e , ou enfim e , cada um desses três casos verifica que

Vamos mostrar o exemplo de uma elipse cuja borda é parametrizada por:

Onde t pertence aos reais e variando de 0 até .

Temos:

Obtendo:

Demostramos, então, que a área da elipse de semi-eixos a e b é πab.

Referências

  1. VALLE, Marcos. «Teorema de Green - aula 18» (PDF). Universidade Estadual de Campinas. Consultado em 24 de novembro de 2019 
  2. ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. Página 1039.
  3. a b «Teoremas de Green e Stokes» (PDF). CESAD. Consultado em 24 de novembro de 2019 
  4. VALLE, Marcos. «Teorema de Green - Aula 20» (PDF). Universidade Estadual de Campinas. Consultado em 24 de novembro de 2019 

Ver também[editar | editar código-fonte]