Teorema de Green

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Folha de rosto do livro Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism, de 1828, onde se encontra a primeira demonstração do Teorema de Green.

Em matemática, o teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Este teorema foi demonstrado pelo matemático britânico George Green em 1828 e é um caso particular do teorema de Stokes.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja C uma curva simples fechada derivável e D a região do plano delimitada por C. Sejam P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas numa região contendo D, então

Para evidenciar o fato de que a primeira integral é definida ao longo de uma curva fechada, por vezes esta representa-se por

Relação com o teorema de Stokes[editar | editar código-fonte]

O teorema de Green é um caso especial do Teorema de Kelvin-Stokes quando é aplicado a uma região no plano-xy.

Podemos aumentar o campo vetorial de duas dimensões a um de três dimensões no qual a componente z é constantemente igual a zero.

Vamos escrever F como uma função vetorial . Começaremos com o lado esquerdo do teorema de Green:

Aplicando o teorema de Kelvin-Stokes:

A superficie é simplesmente a região no plano , com o vetor normal unitário apontando (na direção positiva de z) de tal maneira que coincida com as definições de "orientação positiva" para ambos teoremas (Green e Stokes). Se verifica .

A expressão dentro da integral fica

Desta maneira obtemos o lado direito do teorema de Green

Relação com o teorema da divergência[editar | editar código-fonte]

O teorema de Green é equivalente à seguiente analogia bidimensional do teorema de Stokes:

onde é o vetor normal apontando para fora da fronteira.

Para entender, considere a unidade normal na parte direita da equação. Como é um vetor apontando tangencialmente através de uma curva, e a curva C está orientada de maneira positiva através da fronteira, um vetor normal apontando para fora da fronteira seria aquele que aponta em 90º horizontalmente, o qual poderia ser . O módulo de este vetor é . Portanto .

Tomando as componentes de , o lado direito se converte em

que por meio do teorema de Green resulta em:

Cálculo de Área[editar | editar código-fonte]

A utilização do Teorema de Green permite calcular a área delimitada por uma curva parametrizada e fechada.

Seja um domínio do plano ao qual o Teorema de Green se aplica e seja a fronteira, orientada positivamente em relação a . Temos:

e tendo respectivamente e , ou e , ou enfim e , cada um desses três casos verifica que

Vamos mostrar o exemplo de uma elípse cuja borda é parametrizado por:

com t variando de 0 até .

Temos:

Obtendo:

Demostramos, então, que a área da elipse de semi-eixos a e b é πab.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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