Teorema de Green

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Folha de rosto do livro Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism, de 1828, onde se encontra a primeira demonstração do Teorema de Green.

Em matemática, o teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Este teorema foi demonstrado pelo matemático britânico George Green em 1828 e é um caso particular do teorema de Stokes.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja C uma curva simples fechada derivável e D a região do plano delimitada por C. Sejam P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas numa região contendo D, então

\int_{C} (P dx + Q dy) = \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial
y}\right) dA.

Para evidenciar o fato de que a primeira integral é definida ao longo de uma curva fechada, por vezes esta representa-se por

\oint_{C} (P dx + Q dy).

Relação com o teorema de Stokes[editar | editar código-fonte]

O teorema de Green é um caso especial do Teorema de Kelvin-Stokes quando é aplicado a uma região no plano-xy.

Podemos aumentar o campo vetorial de duas dimensões a um de três dimensões no qual a componente z é constantemente igual a zero.

Vamos escrever F como uma função vetorial \mathbf{F}=(P,Q,0). Começaremos com o lado esquerdo do teorema de Green:

\oint_{C} (P\, dx + Q\, dy) = \oint_{C} (P, Q, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.

Aplicando o teorema de Kelvin-Stokes:

\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS.

A superficie S é simplesmente a região no plano D, com o vetor normal unitário \mathbf{\hat n} apontando (na direção positiva de z) de tal maneira que coincida com as definições de "orientação positiva" para ambos teoremas (Green e Stokes). Se verifica \mathbf{\hat n} = \mathbf{k}.

A expressão dentro da integral fica

\nabla \ \times \ \mathbf{F} \ \cdot \ \mathbf{\hat n} = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y}  - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k} \right] \cdot \mathbf{k} = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right).

Desta maneira obtemos o lado direito do teorema de Green

\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \, dA.

Relação com o teorema da divergência[editar | editar código-fonte]

O teorema de Green é equivalente à seguiente analogia bidimensional do teorema de Stokes:

\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \mbox{ } ds, onde \mathbf{\hat n} é o vetor normal apontando para fora da fronteira.

Para entender, considere a unidade normal na parte direita da equação. Como d\mathbf{r} = (dx, dy) é um vetor apontando tangencialmente através de uma curva, e a curva C está orientada de maneira positiva através da fronteira, um vetor normal apontando para fora da fronteira seria aquele que aponta em 90º horizontalmente, o qual poderia ser (dy, -dx). O módulo de este vetor é \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds. Portanto \mathbf{\hat n} \mbox{ } ds = (dy, -dx).

Tomando as componentes de \mathbf{F} = (Q, -P), o lado direito se converte em

\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \mbox{ } ds \mbox{ } = \int_C (Q,-P) \cdot (dy,-dx) = \int_C (Q \mbox{ } dy + P \mbox{ } dx)

que por meio do teorema de Green resulta em:

\int_C (P \mbox{ } dx \mbox{ } + \mbox{ } Q \mbox{ } dy)  = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA = \iint_D\left(\nabla\cdot (Q,-P) \right)dA = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dA

Cálculo de Área[editar | editar código-fonte]

A utilização do Teorema de Green permite calcular a área delimitada por uma curva parametrizada e fechada.

Seja D um domínio do plano ao qual o Teorema de Green se aplica e seja C = \partial D a fronteira, orientada positivamente em relação a D. Temos:

{\displaystyle \mathcal{A(D)} = \iint_\mathcal{D} \mathrm dx \mathrm dy = \int_\mathcal{C} -y \mathrm dx = \int_\mathcal{C}  x \mathrm dy = 1/2 \int_\mathcal{C} -y \mathrm dx + x \mathrm dy }

e tendo respectivamente  P \left( x, y \right) = -y e  Q \left( x, y \right) = 0, ou  P \left( x, y \right) = 0 e  Q \left( x, y \right) = x, ou enfim  P \left( x, y \right) = -y/2 e  Q \left( x, y \right) = x/2, cada um desses três casos verifica que \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 .

Vamos mostrar o exemplo de uma elípse cuja borda é parametrizado por:

{\displaystyle  t \mapsto \left( a\cos{t}, b\sin{t} \right)}

com t variando de 0 até .

Temos:

 P \left( x, y \right) \, \mathrm dx = - \frac{y}{2} \, \mathrm dx = \frac{b\sin(t)}{2} a\sin(t) \, \mathrm dt   e   Q \left( x, y \right) \, \mathrm  dy = \frac{x}{2} \, \mathrm dy = \frac{a\cos(t)}{2} b\cos(t) \, \mathrm dt

Obtendo:

{\displaystyle \mathcal{A} =  1/2 \int_\mathcal{C} -y \mathrm dx + x \mathrm dy = \int_0^{2\pi} \frac{ab}{2} \mathrm dt  = \pi ab.}

Demostramos, então, que a área da elipse de semi-eixos a e b é πab.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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