Integral de Lebesgue

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A integral de uma função positiva pode ser interpretada como a área sob a curva de um gráfico.

Em matemática a integral de Lebesgue é uma generalização da integral de Riemann. Originalmente definida para funções , a integral de Lebesgue apresenta diversas vantagens em relação à integral de Riemann sobretudo em relação a processos de limite. De fato, não existem versões dos teorema da convergência monótona, teorema da convergência dominada e do lema de Fatou usando a integral de Riemann. Além disso, a integral de Lebesgue é uma construção matemática generalizável para funções definidas num espaço de medida assumindo valores reais ou complexos, ou mesmo, em um espaço de Banach geral.

Construção[editar | editar código-fonte]

Existem diversas possíveis construções para integral de Lebesgue, seguiremos aqui um método baseado na exaustão por funções simples.

Considere, então, um espaço de medida.

Funções simples[editar | editar código-fonte]

Seja uma função simples:

Diz-se que é Lebesgue integrável em se:

ficando bem convencionado que

neste caso, definimos a integral de Lesbesgue de como:

Funções positivas[editar | editar código-fonte]

Seja uma função mensurável, define-se a integral de Lebesgue de em como:

, onde é uma função simples.

A função é dita, então, Lebesgue integrável se sua integral é finita. Observações:

  • Quando é uma função simples, esta definição é consistente com a definição anterior.
  • A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A integral sendo finita se e somente se a função é Lebesgue integrável.

Funções reais[editar | editar código-fonte]

Seja uma função mensurável, definem-se as partes positivas e negativas, respectivamente como:

É fácil ver que se é mensurável, então ambas e são mensuráveis não negativas e que .

A função é dita Lebesgue integrável em se ambas as integrais e forem finitas e sua integral é definida como:

  • Observe que é integrável se e somente se é integrável.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se e são funções integráveis em um conjunto mensurável , então:

  • quase sempre, então
  • mensurável, é integrável em e, ainda:
  • Se são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois e então:
  • define uma medida nos subconjuntos mensuráveis de .

Comparação com a integral de Riemann[editar | editar código-fonte]

  • Enquanto toda função integrável a Riemann é limitada, existem funções integráveis a Lebesgue que não são limitadas nem mesmo essencialmente limitadas em nenhum aberto do domínio.
  • O domínio de integração da integral de Lebesgue pode ser qualquer conjunto mensurável, inclusive não limitado.

Ver também[editar | editar código-fonte]


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