Integral de Riemann

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No ramo da matemática conhecido como análise real, a integral de Riemann, criada por Bernhard Riemann, foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo. Enquanto a integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos teóricos, ela é uma das definições mais fáceis de integral. Algumas deficiências destas técnicas podem ser remediadas pela integral de Riemann-Stieltjes, e a maioria delas desaparece na integral Lebesgue.

Visão geral[editar | editar código-fonte]

Figura 2

Seja f(x) uma função não negativa válida para os números reais do intervalo [a,b], e seja S = \{ (x, y); 0 < y < f(x) \} uma região plana sob a função f(x) e acima do intervalo [a,b] (veja a figura 2). O nosso interesse é medir a área de S. Uma vez realizada esta medição, iremos denotá-la por:

\int \limits_{a}^{b} f(x)\, dx

A ideia básica de integral de Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidade para a área de S. Para se ter uma aproximação cada vez melhor, nós podemos dizer que "no limite" iremos obter exatamente a área de S sob a curva.

Note que onde f pode ser positivo e negativo, a integral corresponde à "área com sinal"; isto é, a área acima do eixo x é positiva e a área abaixo do eixo x negativa.

Uma soma de Riemann. O número na parte superior representa a soma das áreas dos retângulos azuis. O valor converge para o integral da função.

Definição da integral de Riemann[editar | editar código-fonte]

Partições de um intervalo[editar | editar código-fonte]

Uma partição de um intervalo [a,b] é uma sequência finita a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b. Cada [x_i, x_{i+1}] é denominado como um sub-intervalo da partição. A malha de uma partição é definida como o comprimento do mais longo sub-intervalo [x_i,x_{i+1}], isto é, aquele em que \max (x_{i+1}-x_i) onde 0 \le i \le n - 1. Isto também é conhecido como norma de partição.

Uma partição de um intervalo etiquetado é uma partição de um intervalo juntamente com uma sequência finita de números t_0, \ldots, t_{n-1} sujeito a condição que para cada i, x_i \le t_i \le x_{i+1}. Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma que para uma partição ordinária.

Suponha que x_0,\ldots,x_n juntamente com t_0,\ldots,t_{n-1} são uma partição etiquetada de [a, b], e que y_0,\ldots,y_m juntamente com s_0,\ldots,s_{m-1} seja uma outra partição etiquetada de [a,b]. Nos poderemos dizer que y_0,\ldots,y_m e s_0,\ldots,s_{m-1} juntas são um refinamento da x_0,\ldots,x_n juntamente com t_0,\ldots,t_{n-1} se para cada inteiro i com 0 \le i \le n, exista um inteiro r(i) tal que x_i = y_{r(i)} e tal que t_i = s_j para algum j com r(i) \le j \le r(i+1). Falando de uma maneira mais simples, um refinamento de uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas isto não chega a lugar algum.

Nos podemos definir uma ordem parcial um subconjunto de todas as etiquetas de partição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um refinamento da menor.

Soma de Riemann[editar | editar código-fonte]

Escolha uma função válida para números reais f a qual se encontra definida no intervalo [a,b]. A Soma de Riemann de f com respeito a partição denominada x_0,\ldots,x_n com t_0,\ldots,t_{n-1} é:

\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)

Cada termo na soma é o produto do valor da função em um ponto dado e o comprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de um retângulo com a altura f(t_i) e o comprimento x_{i+1}-x_i. A soma de Riemann é a área sinalizada de todos os retângulos.

A integral de Riemann[editar | editar código-fonte]

Grosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com uma função de partição que se afine cada vez mais. Contudo, o significado preciso a cerca do que significa "cada vez mais fino" é o mais importante.

Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até que seu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boa aproximação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom para definir uma integral. Para ser especifico, nos dizemos que a integral Riemann de f se igualara a S se as seguintes condições foram consideradas:

Para todo \epsilon > 0, onde exista \delta > 0 tal que para qualquer partição etiquetada x_0,\ldots,x_n e t_0,\ldots,t_{n-1} onde a malha seja menor que \delta, nos temos:
\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - s\right| < \epsilon.\,

Contudo, existe um problema desagradável com esta definição: ela é muito difícil para se trabalhar. Então faremos uma definição alternativa para a integral de Riemann a qual seja mais fácil para se trabalhar, então se prova que esta é a mesma definição que a original. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de f é igual a s se as seguintes condições foram consideradas:

Para todo \epsilon > 0, existe uma partição etiquetada x_0,\ldots,x_n e t_0,\ldots,t_{n-1} tal que para qualquer refinamento y_0,\ldots,y_m e s_0,\ldots,s_{m-1} de x_0,\ldots,x_n e t_0,\ldots,t_{n-1}, nos teremos
\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - s\right| < \epsilon.\,

Ambos eventualmente significam, a soma de Riemann de f com respeito para qualquer partição que seja selecionada que leve a se aproximar de s. Desde que isto seja verdade, não importa a proximidade que necessitamos que esta soma ira assumir, nos diremos que a soma Riemann convergira para s. Esta definição é sempre um caso especial de um conceito mais geral, uma rede.

Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outras palavras, s funciona na sua primeira definição se e somente se s funciona na sua segunda definição. Para mostrar que a primeira definição implica a segunda, iniciamos com um \epsilon, e escolhemos um \delta que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição etiquetada onde a malha é menor que \delta. Esta soma Riemann é em dentro \epsilon de s, e qualquer refinamento desta partição ira também ter uma grade menor que \delta, então a soma de Riemann dos refinamentos ira também estar em \epsilon de s. Para mostrar que a segunda definição implica a primeira, isto é facilitado com uso da integral de Darboux. Primeiro mostraremos que a segunda é equivalente a definição da integral de Darboux, para isto veja a integral. Agora nos iremos mostras que a função de integração de Darboux satisfaz a primeira definição. Escolha a partição x_0, \ldots, x_n tal que o limite inferior e superior da soma de Darboux com respeito a esta partição esteja em dentro \frac{\epsilon}{2} do valor s da integral de Darboux. Seja r igual \max_{0 \le i \le n-1} M_i-m_i, onde M_i e m_i são o supremum e infimum, respectivamente, de f em [x_i,x_{i+1}], e sendo \delta menor que \frac{\epsilon}{2rn} e \min_{0 \le i \le n-1} x_{i+1}-x_i. Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de f com respeito de qualquer partição etiquetada da grade menor que \delta ira estar em dentro de \frac{\epsilon}{2} da maior ou menor soma de Darboux, então isto estará em dentro de \epsilon de s.

Referências[editar | editar código-fonte]


  • * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.

Ver também[editar | editar código-fonte]