Integral de Henstock–Kurzweil

Em matemática, a integral de Henstock–Kurzweil, também conhecida como integral de Denjoy e integral de Perron, é uma definição possível de integral de uma função. É uma generalização da integral de Riemann a qual em algumas situações é mais útil que a integral de Lebesgue.

Esta integral foi primeiramente definida por Arnaud Denjoy (1912). Denjoy estava interessado em uma definição que levaria a integrar funções como

$f(x)={\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\right).$

Enta função tem uma singularidade em 0, e não é integravel por integral de Lebesgue. Entretanto, parece natural calcular-se sua integral, exceto em [−ε,δ] e então fazendo-se ε, δ → 0.

Definição

A definição de Henstock é a seguinte:

Dada uma partição aditiva P de [a, b], diz-se

$a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b,\ \ t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}]$

e uma função positiva

$\delta \colon [a,b]\to (0,\infty ),$

a qual chamamos um calibre, diz-se que P é $\delta$-refinado se

$\forall i\ \ u_{i}-u_{i-1}<\delta (t_{i}).$

Para uma partição aditiva P e uma função

$f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$

define-se a soma de Riemann como sendo

$\sum _{P}f=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}-u_{i-1})f(t_{i}).$

Dada uma função

$f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,$

define-se um número I sendo a integral de Henstock–Kurzweil de f se para cada ε > 0 existe um calibre $\delta$ tal que sempre P seja $\delta$-refinado, tem-se

${\Big \vert }\sum _{P}f-I{\Big \vert }<\varepsilon .$

Se um tal I existe, diz que f é Henstock–Kurzweil integrável em [a, b].

O lema de Cousin estabelece que para cada calibre $\delta$, tal $\delta$-refinada partição P existe, então esta condição não pode ser satisfeita pela ausência. A integral de Riemann pode ser considerada como um caso especial onde somente permite-se calibres constantes.

Referências

• Das, A.G. (2008). The Riemann, Lebesgue, and Generalized Riemann Integrals. Narosa Publishers. ISBN 978-8173199332.