Integral Gaussiana

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O gráfico de ƒ(x) = ex2 e a área entre a função e o eixo x, que vale .

A Integral Gaussiana, também conhecida como a Integral de Euler-Poisson é a integral da função Gaussiana ex2 em toda a reta real. Seu nome é dado em homenagem ao matemático e físico Carl Friedrich Gauss. A integral vale:

Essa integral tem diversas aplicações em ciências exatas, como física ou estatística, visto que a distribuição normal descreve uma gama imensa de fenômenos de interesse.

A mesma integral com limites finitos é chada função erro. Apesar da função erro não poder ser exprimida em termos de funções elementares, como pode ser demonstrado pelo algoritmo de Risch, a integral gaussiana pode ser calculada explicitamente sobre toda a reta. Em outros termos, não há uma integral indefinida elementar para , mas a integral definida pode ser calculada.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

A integral de uma função gaussiana[editar | editar código-fonte]

A integral de uma função gaussiana arbitrária é obtida por simples troca de variáveis

ou de forma equivalente

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas polares[editar | editar código-fonte]

Uma forma simples se calcular, cuja idéia remonta a Siméon-Denis Poisson[1] é considerar a função e−(x2 + y2) = er2 no plano R2, e calcular a mesma integral de duas formas:

  • por outro, utilizando coordenadas polares, a integral pode ser calculada e vale .

Comparando esses dois cálculos, demonstra-se o resultado.

Resolução[editar | editar código-fonte]

A resolução da Integral Gaussiana pode ser dada da seguinte forma:

Denotaremos a integral por , como se segue:

Essa integral é mais facilmente resolvida se a multiplicarmos pela Integral

Observemos que essa multiplicação nos dá , pois os valores das duas integrais em e em são exatamente os mesmos.

.

A etapa seguinte consiste em mudarmos para coordenadas polares, observando que . É coerente notar que a região de integração é todo o plano , portanto deve percorrer de 0 até e o ângulo de 0 à 2 . Assim a integral

é mais fácil de ser calculada, pois aparece um fator que, utilizando o método de substituição de variáveis (ver Métodos de Integração) , será cancelado com o quociente 2. Podemos recorrer ao Teorema de Fubini calculando primeiramente a integral em e depois integrando o resultado em da seguinte forma :

Teremos então:

Portanto, finalizando a resolução, concluímos que:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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