Teorema de Fubini

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Na análise matemática, o teorema de Fubini, em homenagem a Guido Fubini, é um resultado que fornece condições sob as quais é possível calcular uma integral dupla por meio de integrais iteradas. Como consequência, ele permite a inversão da ordem de integração em integrais iteradas.

Enunciado do Teorema[editar | editar código-fonte]

Sejam A e B espaços de medida completos. Suponha f(x,y) uma função A × B mensurável. Se

em que a integral é tomada com relação à medida produto associada ao espaço A × B, então

em que as duas primeiras integrais são integrais iteradas com relação a duas medidas, respectivamente, e a terceira é uma integral com relação ao produto dessas duas medidas.

A demonstração deste teorema é encontrada em livros de Análise Real[1] .

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O teorema de Fubini possui aplicações em inúmeras áreas das ciências exatas. Dentre as quais podemos citar:

Cálculo de integrais múltiplas[editar | editar código-fonte]

O cálculo de uma dada integral múltipla fica bastante simplicidado ao escrevermos a integral em integrais iteradas. Veja, por exemplo, o artigo Integral múltipla da Wikipédia. Além disso, vários exemplos para integrais duplas e triplas podem ser encontrados em livros de Cálculo[2] .

Integral gaussiana[editar | editar código-fonte]

Uma das aplicações do teorema de Fubini é na resolução da integral gaussiana que é a base para grande parte da teoria de probabilidades:

No artigo sobre integrais gaussianas pode-se ver como o teorema de Fubini pode ser usado para provar isso.

Referências

  1. Royden, H.L. (1968). Real Analysis 2. ed. Macmillan [S.l.] 
  2. Thomas, George B. (2003). Cálculo - volume 2 12 ed. Pearson [S.l.] ISBN 9788581430874.