Medida de Haar

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Em análise matemática, a medida de Haar é uma forma de atribuir um volume invariante para subconjuntos de grupos localmente compactos e em seguida definir uma integral para funções nestes grupos.

Esta medida foi criada pelo matemático húngaro Alfréd Haar em 1932. A medida de Haar é utilizada em diversas partes da análise matemática, teoria dos números e teoria da estimativa.

Definição[editar | editar código-fonte]

Suponha que G seja um grupo topológico localmente compacto. Para esta definição, a σ-álgebra gerada por todos subconjuntos compactos de G será chamada de álgebra de Borel.

Se a é um elemento de G e S é um subconjunto de G, então nós definimos as translações para esquerda e para direita de S da seguinte forma:

  • Translação a esquerda
 a S = \{a \cdot s: s \in S\};
  • Translação a direita
 S a = \{s \cdot a: s \in S\}.

Uma medida μ nos subconjuntos de Borel de G é chamado de translação-esquerda-invariante se e somente se para todos subconjuntos de Borel S de G e todos a em G existe

 \mu(a S) = \mu(S) \quad

Uma definição similar é feita para a translação à direita invariante.

Existência e unicidade da medida de Haar esquerda[editar | editar código-fonte]

Acontece que existe, salvo um multiplicador constante positivo, apenas uma translação esquerda invariante adição sigma da medida regular μ no subconjunto de Borel G tal que \mu(U) > 0 para qualquer conjunto de Borel aberto e não vazio U. De forma que uma medida seja chamada de medida de Haar esquerda. Segundo Paul Halmos[1] μ será regular se e somente se

  1. \mu(K) é finito para todo conjunto compacto K;
  2. Todo conjunto de Borel E é exteriormente regular;
  3.  : \mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U, U \mbox{ aberto}\}.
  4. Todo conjunto de Borel R é internamente regular.
  5.  : \mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E, K \mbox{ compacto}\}.

A existência da medida de Haar foi pela primeira vez comprada por André Weil.[2] O caso especial para medidas invariantes em grupos compactos fora demonstrada em 1933 por Haar.[3]

A integral de Haar[editar | editar código-fonte]

Utilizando a teoria geral da integral de Lebesgue, pode-se definir uma integral para toda função de medida de Borel f em G. Esta integral é chamada de Integral de Haar.

Definição[editar | editar código-fonte]

Se μ é a medida esquerda de Haar, então

 \int_G f(s x) \ d\mu(x) = \int_G f(x) \ d\mu(x)

para qualquer função integrável f. Isto é obtido imediatamente pelas funções escalonadas, sendo essencialmente a definição da variante esquerda.

Referências

  1. Paul Halmos. Measure Theory (em inglês). [S.l.]: D. van Nostrand and Co., 1950.
  2. André Weil. L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Actualités Scientifiques et Industrielles (em francês). [S.l.]: Hermann, 1940.
  3. Alfréd Haar. Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen (em alemão). [S.l.]: Ann. Math., 1933.

Leitura recomendada[editar | editar código-fonte]

  • Lynn Loomis. An Introduction to Abstract Harmonic Analysis (em inglês). [S.l.]: D. van Nostrand and Co., 1953.
  • André Weil. Basic Number Theory (em inglês). [S.l.]: Academic Press, 1971.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]