Translação

Na geometria euclidiana, a translação é o movimento que um objeto realiza de um ponto a outro, ou uma transformação geométrica que desloca todos os pontos de uma figura, forma ou espaço pela mesma distância em uma determinada direção. É o deslocamento paralelo, em linha reta na mesma direção e no mesmo sentido, de um objeto ou figura, em função de um vetor percorrendo a mesma distância. Uma translação também pode ser interpretada como a adição de um vetor constante a cada ponto, ou como o deslocamento da origem do sistema de coordenadas. Em um espaço euclidiano, qualquer translação é uma isometria.

Uma translação é uma isometria que desloca a figura original segundo uma direção, um sentido e um comprimento (vetor). As translações conservam a direção e o comprimento de segmentos de reta, e as amplitudes dos ângulos.

Um deslizamento é uma translação ao longo de um eixo, em torno do qual também pode ocorrer uma rotação.

Podemos citar como exemplos práticos de translação, elevadores, escadas rolantes e até mesmo escorregadores.

"Seja AB um segmento orientado, no plano π ou no espaço E. (Orientado significa que a ordem em que os extremos são citados é relevante: primeiro A, e depois B.) A translação determinada por AB é a transformação (correspondência biunívoca) τ : π → π, ou τ : E → E, definida por τ(X) = X’, de modo que (AB, XX’) e (AX, BX’) sejam os pares de lados opostos de um paralelogramo". ^[1]

Como uma função

Se $\mathbf {v}$ é um vetor fixo, conhecido como o vetor de translação, e $\mathbf {p}$ é a posição inicial de algum objeto, então a função de translação $T_{\mathbf {v} }$ funcionará como $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$ .

Se $T$ é uma translação, então a imagem de um subconjunto $A$ sob a função $T$ é a translada de $A$ por $T$ . A translada de $A$ por $T_{\mathbf {v} }$ é frequentemente escrita como $A+\mathbf {v}$ .

Aplicação na física clássica

Na física clássica, o movimento de translação é o movimento que muda a posição de um objeto, ao contrário da rotação. Por exemplo, de acordo com Whittaker:^[2]

Se um corpo é movido de uma posição para outra, e se as linhas que unem os pontos iniciais e finais de cada um dos pontos do corpo são um conjunto de retas paralelas de comprimento ℓ, de modo que a orientação do corpo no espaço não é alterada, o deslocamento é chamado de translação paralela à direção das retas, através de uma distância ℓ.

— E. T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, p. 1

Uma translação é a operação que muda as posições de todos os pontos $(x,y,z)$ de um objeto de acordo com a fórmula

(x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)

onde $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ é o mesmo vetor para cada ponto do objeto. O vetor de translação $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ comum a todos os pontos do objeto descreve um tipo particular de deslocamento do objeto, geralmente chamado de deslocamento linear para distingui-lo de deslocamentos envolvendo rotação, chamados de deslocamentos angulares.

Ao considerar o espaço-tempo, uma mudança de coordenada de tempo é considerada uma translação.

Como um operador

O operador de translação transforma uma função da posição original, $f(\mathbf {v} )$ , em uma função da posição final, $f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )$ . Em outras palavras, $T_{\mathbf {\delta } }$ é definido de tal forma que $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$ Este operador é mais abstrato do que uma função, uma vez que $T_{\mathbf {\delta } }$ define uma relação entre duas funções, em vez dos próprios vetores subjacentes. O operador de translação pode atuar em muitos tipos de funções, como quando o operador de translação atua em uma função de onda, que é estudado no campo da mecânica quântica.

Como um grupo

O conjunto de todas as translações forma o grupo de translação $\mathbb {T}$ , que é isomorfo ao próprio espaço, e um subgrupo normal do grupo euclidiano $E(n)$ . O grupo quociente de $E(n)$ por $\mathbb {T}$ é isomorfo ao grupo de movimentos rígidos que fixam um ponto de origem particular, o grupo ortogonal $O(n)$ :

E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)

Como a translação é comutativa, o grupo de translação é abeliano. Existe um número infinito de translações possíveis, portanto o grupo de translação é um grupo infinito.

Na teoria da relatividade, devido ao tratamento do espaço e do tempo como um único espaço-tempo, as translações também podem se referir a mudanças na coordenada de tempo. Por exemplo, o grupo de Galileu e o grupo de Poincaré incluem translações em relação ao tempo.

Grupos de rede

Um tipo de subgrupo do grupo de translação tridimensional são os grupos de rede, que são grupos infinitos, mas ao contrário dos grupos de translação, são finitamente gerados. Ou seja, um conjunto gerador finito gera todo o grupo.

Representação matricial

Uma translação é uma transformação afim sem pontos fixos. As multiplicações de matrizes sempre têm a origem como um ponto fixo. No entanto, existe uma solução alternativa comum usando coordenadas homogêneas para representar uma translação de um espaço vetorial com multiplicação de matrizes: Escreve-se o vetor tridimensional $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ usando 4 coordenadas homogêneas como $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$ .^[3]

Para transladar um objeto por um vetor $\mathbf {v}$ , cada vetor homogêneo $\mathbf {p}$ (escrito em coordenadas homogêneas) pode ser multiplicado por esta matriz de translação:

T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Como mostrado abaixo, a multiplicação dará o resultado esperado:

T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v}

A inversa de uma matriz de translação pode ser obtida invertendo a direção do vetor (em outras palavras, é uma matriz M):

T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!

Da mesma forma, o produto de matrizes de translação é dado pela soma dos vetores:

T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!

Como a adição de vetores é comutativa, a multiplicação de matrizes de translação também é comutativa (ao contrário da multiplicação de matrizes arbitrárias).

Translação de eixos

Enquanto a translação geométrica é frequentemente vista como uma transformação ativa que muda a posição de um objeto geométrico, um resultado semelhante pode ser alcançado por uma transformação passiva que move o próprio sistema de coordenadas, mas deixa o objeto fixo. A versão passiva de uma translação geométrica ativa é conhecida como translação de eixos.

Simetria de translação

Um objeto que parece o mesmo antes e depois da translação é dito ter simetria de translação. Um exemplo comum é uma função periódica, que é uma autofunção de um operador de translação.

Na simetria de translação, a figura "desliza" sobre uma reta, mantendo-se inalterada. Em todas as translações se observa que um mesmo elemento se desloca numa determinada direção e sempre paralelo a si próprio, isto é, sem nunca rodar. Num friso há um motivo que se repete periodicamente, numa determinada direção e sempre paralelo a si mesmo.

Translações de um gráfico

Translação vertical

O gráfico de uma função real $f$ , o conjunto de pontos ⁠ $(x,f(x))$ ⁠, é frequentemente representado no plano cartesiano com $x$ como a coordenada horizontal e ⁠ $y=f(x)$ ⁠ como a coordenada vertical.

Partindo do gráfico de $f$ , uma translação horizontal significa compor $f$ com uma função ⁠ $x\mapsto x-a$ ⁠, para algum número constante $a$ , resultando em um gráfico consistindo de pontos ⁠ $(x,f(x-a))$ ⁠. Cada ponto ⁠ $(x,y)$ ⁠ do gráfico original corresponde ao ponto ⁠ $(x+a,y)$ ⁠ no novo gráfico, o que pictoricamente resulta em um deslocamento horizontal.

Uma translação vertical significa compor a função ⁠ $y\mapsto y+b$ ⁠ com $f$ , para alguma constante $b$ , resultando em um gráfico consistindo dos pontos ⁠ ${\bigl (}x,f(x)+b{\bigr )}$ ⁠. Cada ponto ⁠ $(x,y)$ ⁠ do gráfico original corresponde ao ponto ⁠ $(x,y+b)$ ⁠ no novo gráfico, o que pictoricamente resulta em um deslocamento vertical.^[4]

Por exemplo, tomando a função quadrática ⁠ $y=x^{2}$ ⁠, cujo gráfico é uma parábola com vértice em ⁠ $(0,0)$ ⁠, uma translação horizontal de 5 unidades para a direita seria a nova função ⁠ $y=(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25$ ⁠ cujo vértice tem coordenadas ⁠ $(5,0)$ ⁠. Uma translação vertical de 3 unidades para cima seria a nova função ⁠ $y=x^{2}+3$ ⁠ cujo vértice tem coordenadas ⁠ $(0,3)$ ⁠.

As antiderivadas de uma função diferem umas das outras por uma constante de integração e, portanto, são translações verticais umas das outras.^[5]

Aplicações

Para descrever a dinâmica veicular (ou movimento de qualquer corpo rígido), incluindo dinâmica de navios e dinâmica de aeronaves, é comum usar um modelo mecânico consistindo de seis graus de liberdade, que inclui translações ao longo de três eixos de referência (assim como rotações em torno desses três eixos). Essas translações são frequentemente chamadas de surge (avanço), sway (deriva) e heave (arfagem).

Ver também

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Referências

↑ LIMA, 2001
↑ Edmund Taylor Whittaker (1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea ed. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 1. ISBN 0-521-35883-3
↑ Richard Paul, 1981, Robot manipulators: mathematics, programming, and control : the computer control of robot manipulators, MIT Press, Cambridge, MA
↑ Dougherty, Edward R.; Astol, Jaakko (1999), Nonlinear Filters for Image Processing, ISBN 9780819430335, SPIE/IEEE series on imaging science & engineering, 59, SPIE Press, p. 169 .
↑ Zill, Dennis; Wright, Warren S. (2009), Single Variable Calculus: Early Transcendentals, ISBN 9780763749651, Jones & Bartlett Learning, p. 269 .

Leitura adicional

Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437–450. Retrieved April 29, 2014, from www.elsevier.com/locate/jmathb
Transformations of Graphs: Horizontal Translations. (2006, January 1). BioMath: Transformation of Graphs. Retrieved April 29, 2014

Ligações externas

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Translação

Translation Transform no cut-the-knot
Geometric Translation (Interactive Animation) no Math Is Fun
Understanding 2D Translation e Understanding 3D Translation por Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.

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[1] LIMA, 2001

[Whittaker-2] Edmund Taylor Whittaker (1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea ed. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 1. ISBN 0-521-35883-3

[3] Richard Paul, 1981, Robot manipulators: mathematics, programming, and control : the computer control of robot manipulators, MIT Press, Cambridge, MA

[4] Dougherty, Edward R.; Astol, Jaakko (1999), Nonlinear Filters for Image Processing, ISBN 9780819430335, SPIE/IEEE series on imaging science & engineering, 59, SPIE Press, p. 169 .

[5] Zill, Dennis; Wright, Warren S. (2009), Single Variable Calculus: Early Transcendentals, ISBN 9780763749651, Jones & Bartlett Learning, p. 269 .

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