Integral de Skorokhod

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Em matemática, a integral de Skorokhod, frequentemente denotada como , é um operador de grande importância na teoria dos processos estocásticos.[1] Recebe este nome em homenagem ao matemático ucraniano Anatoliy Skorokhod. Parte da sua importância deriva do fato de que unifica vários conceitos:

Definição[editar | editar código-fonte]

Derivada de Malliavin[editar | editar código-fonte]

Considere um espaço de probabilidade fixo e um espaço de Hilbert , sendo que denota o valor esperado em relação à :

Falando intuitivamente, a derivada de Malliavin de uma variável aleatória em é definida expandindo-a em termos de variáveis aleatórias gaussianas que são parametrizadas pelos elementos de e diferenciando da expansão formalmente. A integral de Skorokhod é o operador adjunto da derivada de Malliavin. Considere uma família de variáveis aleatórias de valores reais , indexada pelos elementos do espaço de Hilbert . Assuma em seguida que cada é uma variável aleatória gaussiana (normal), que o mapa que leva de a é um mapa linear e que a média e a estrutura de covariância são dadas por:

para todo e em . Pode-se mostrar que, dado , sempre existe um espaço de probabilidade e uma família de variáveis aleatórias com as propriedades acima. A derivada de Malliavin é essencialmente definida ao configurar formalmente a derivada da variável aleatória como sendo e então estender esta definição a variáveis aleatórias suficientemente suaves. Para uma variável aleatória da forma:

em que é suave, a derivada de Malliavin é definida usando a "definição formal" anterior e a regra da cadeia:

Em outras palavras, enquanto era uma variável aleatória de valores reais, sua derivada é uma variável aleatória de valor , um elemento do espaço . Certamente, este procedimento apenas define para variáveis aleatórias "suaves", mas um procedimento de aproximação pode ser empregado para definir para em um subespaço grande de ; o domínio de é o fecho das variáveis aleatórias suaves na seminorma:

Este espaço é denotado por e é chamado de espaço de Watanabe–Sobolev.

Integral de Skorokhod[editar | editar código-fonte]

Por simplicidade, considere agora apenas o caso . A integral de Skorokhod é definida como o adjunto- da derivada de Malliavin . Assim como não foi definida no todo de , não é definida no todo de : o domínio de consiste naqueles processos em para os quais existe uma constante , tal que, para toda em ,

A integral de Skorokhod de um processo em é uma variável aleatória de valores reais em ; se cai no domínio de , então , é definida pela relação que, para toda ,

Assim como a derivada de Malliavin foi primeiramente definida em variáveis aleatórias simples e suaves, a integral de Skorokhod tem uma expressão simples para "processos simples": se for dada por

em suave e em , então:

[2]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • De acordo com a propriedade da isometria, para qualquer processo em que cai no domínio de ,

Se for um processo adaptado, então, para , de modo que o segundo termo no lado direito desaparece. As integrais de Skorokhod e Itō coincidem neste caso e a equação acima se torna a isometria de Itō.
  • A derivada da integral de Skorokhod é dada pela fórmula:

em que representa , a variável aleatória que é o valor do processo no "tempo" em .
  • A integral de Skorokhod do produto de uma variável aleatória em e um processo em é dada pela fórmula:

[3]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994]. «Skorokhod integral». Springer Science+Business Media B.V./Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-55608-010-4. Consultado em 23 de janeiro de 2018 
  2. Ocone, Daniel L. (1988). «A guide to the stochastic calculus of variations». Springer, Berlin, Heidelberg. Lecture Notes in Mathematics (em inglês): 1–79. ISBN 9783540193159. doi:10.1007/bfb0081929 
  3. Sanz-Solé, Marta (2008). «Applications of Malliavin Calculus to Stochastic Partial Differential Equations» (PDF). Imperial College London. Consultado em 23 de janeiro de 2018