Teorema de Prokhorov

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Em teoria da medida, o teorema de Prokhorov relaciona o aperto das medidas à compacidade (e assim à convergência fraca) no espaço das medidas de probabilidade. Recebe este nome em homenagem ao matemático russo Yuri Prokhorov, que considerava medidas de probabilidade em espaços métricos separáveis completos. O termo "teorema de Prokhorov" é também aplicado a generalizações posteriores tanto às afirmações diretas, como inversas.[1]

Afirmação do teorema[editar | editar código-fonte]

Considere um espaço métrico separável. Considere que denota a coleção de todas as medidas de probabilidade definidas em (com sua σ-álgebra de Borel).

O teorema de Prokhorov afirma que:

  1. Uma coleção de medidas de probabilidade é apertada se e apenas se o fecho de for sequencialmente compacto no espaço equipado com a topologia de convergência fraca;
  2. O espaço com a topologia de convergência fraca é metrizável;
  3. Suponha que, além disso, é um espaço métrico completo (de modo que é um espaço polonês). Há uma métrica completa em equivalente à topologia de convergência fraca. Ademais, é apertada se e apenas se o fecho de em for compacto.[2]

Corolários[editar | editar código-fonte]

Para espaços euclidianos, temos que:

  • Se for uma sequência apertada em (a coleção de medidas de probabilidade em um espaço euclidiano -dimensional), então, há uma subsequência e uma medida de probabilidade , tal que converge fracamente a .
  • Se for uma sequência apertada em , tal que toda subsequência fracamente convergente tem o mesmo limite , então, a sequência converge fracamente a .[3]

Extensão[editar | editar código-fonte]

O teorema de Prokhorov pode ser estendido para considerar medidas complexas ou medidas sinalizadas finitas.

Suponha que é um espaço métrico separável completo e é uma família de medidas complexas de Borel em . As seguintes afirmações são equivalentes:

  • é sequencialmente compacta, isto é, toda sequência tem uma subsequência fracamente convergente.
  • é apertada e uniformemente limitada em norma de variação total.[4]

Comentários[editar | editar código-fonte]

Já que o teorema de Prokhorov expressa o aperto em termos de compacidade, o teorema de Arzelà–Ascoli é frequentemente usado para substituir a compacidade: em espaços de função, isto leva a uma caracterização do aperto em termos do módulo de continuidade ou um análogo apropriado.[3][4]

Há várias extensões profundas e não triviais ao teorema de Prokhorov. Entretanto, estes resultados não obscurecem a importância e a relevância das aplicações do resultado original.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Prokhorov, Y. (1 de janeiro de 1956). «Convergence of Random Processes and Limit Theorems in Probability Theory». Theory of Probability & Its Applications. 1 (2): 157–214. ISSN 0040-585X. doi:10.1137/1101016 
  2. Bogachev, Vladimir I. (15 de janeiro de 2007). Measure Theory (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540345145 
  3. a b Dudley, R. M. (14 de outubro de 2002). Real Analysis and Probability (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521007542 
  4. a b Billingsley, Patrick (25 de junho de 2013). Convergence of Probability Measures (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118625965