Processo estocástico contínuo

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Em teoria das probabilidades, um processo estocástico contínuo é um tipo de processo estocástico que pode ser considerado "contínuo" como uma função de seu "tempo" ou parâmetro de índice. A continuidade é uma boa propriedade para um processo, mais precisamente, para seus caminhos amostrais, já que implica que eles são bem comportados em algum sentido e, por isso, mais fáceis de analisar. Está implícito aqui que o índice do processo estocástico é uma variável contínua. Alguns autores definem um "processo (estocástico) contínuo" como um processo que exige apenas que a variável do índice seja contínua, sem continuidade dos caminhos amostrais. Em alguma terminologia, este seria um processo estocástico de tempo contínuo, em paralelo à um "processo de tempo discreto". Dada esta possível confusão, é necessário cautela.[1]

Definições[editar | editar código-fonte]

Considere um espaço de probabilidade, algum intervalo de tempo e um processo estocástico. Por simplicidade, o resto deste artigo assumirá que o espaço de estados é a reta real , mas as definições permanencem mutatis mutandis se for , um espaço vetorial normado, ou mesmo um espaço métrico geral.

Continuidade com probabilidade um[editar | editar código-fonte]

Dado um tempo , diz-se que é contínuo com probabilidade um em se:

Continuidade em quadrado da média[editar | editar código-fonte]

Dado um tempo , diz-se que é continuo em quadrado da média em se e:

Continuidade em probabilidade[editar | editar código-fonte]

Dado um tempo , diz-se que é contínuo em probabilidade em se, para todo :

Equivalentemente, é contínuo em probabilidade no tempo se:

Continuidade em distribuição[editar | editar código-fonte]

Dado um tempo , diz-se que é contínuo em distribuição em se:

para todos os pontos em que é contínua, sendo que denota a função distribuição acumulada da variável aleatória .

Continuidade amostral[editar | editar código-fonte]

Diz-se que é contínuo amostral se for contínuo em para -quase todo . A continuidade amostral é a noção apropriada de continuidade para processos como as difusões de Itō.

Continuidade de Feller[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Processo contínuo de Feller

Diz-se que é um processo contínuo de Feller se depender continuamente de para qualquer fixo e qualquer função -mensurável, contínua e limitada. Aqui, denota o estado inicial do processo de e denota a expectativa condicional sobre o evento que começa em .[2]

Relações[editar | editar código-fonte]

As relações entre os vários tipos de continuidade de processos estocásticos são semelhantes às relações entre os vários tipos de convergência de variáveis aleatórias. Em particular:

  • Continuidade com probabilidade um implica continuidade em probabilidade;
  • Continuidade em quadrado da média implica continuidade em probabilidade;
  • Continuidade com probabilidade não implica, nem é implicada pela continuidade em quadrado da média;
  • Continuidade em probabilidade implica, mas não é implicada pela continuidade em distribuição.

É tentador confundir continuidade com probabilidade um com continuidade amostral. Continuidade com probabilidade um no tempo significa que , em que o evento é dado por:

e é perfeitamente factível checar se isto se aplica ou não para cada . A continuidade amostral, por outro lado, exige que , em que:

é uma união não enumerável de eventos, ou seja, não é verdadeiramente o próprio evento, de modo que pode estar indefinido. Além disso, mesmo se for um evento, pode ser estritamente positivo até se para todo . Este é o caso, por exemplo, com o processo do telégrafo.[3]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Dodge, Yadolah; Marriott, Francis Henry Charles (2003). The Oxford dictionary of statistical terms 6th ed. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0199206139. OCLC 60582225. Consultado em 1 de março de 2018 
  2. Kloeden, Peter; Platen, Eckhard (1992). Numerical solution of stochastic differential equations. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3540540628. OCLC 25872907. Consultado em 1 de março de 2018 
  3. Øksendal, Bernt Karsten (2003). Stochastic differential equations : an introduction with applications 6 ed. Berlin: Springer. ISBN 3540047581. OCLC 52203046. Consultado em 1 de março de 2018