União (matemática)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
NoFonti.svg
Esta página ou secção cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo (desde Junho de 2012). Por favor, adicione mais referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Material sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)
Indicação da união entre os conjuntos A e B

Em teoria dos conjuntos, a união de dois ou mais conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. É representada pelo símbolo .

Representando por |X| o cardinal de um conjunto X, e por a interseção de conjuntos, tem-se

,

que vale para A e B conjuntos finitos ou infinitos. Para conjuntos finitos, a igualdade anterior pode ser escrita na forma

,

que é um caso particular do princípio da inclusão-exclusão.

Definição[editar | editar código-fonte]

Pela teoria básica de conjuntos, define-se por:[1]

Por exemplo:

  1. Se A = {1, 2, 3} e B = {4 ,5}, então
  2. Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, então . Note que os elementos do conjunto não são repetidos.

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.

Este conjunto existe, combinando o axioma do par com o axioma da união:

(Axioma do par)
(Axioma da união)

Aplicando a segunda proposição ao conjunto F da primeira, temos que:

Finalmente, aplicando o axioma da separação com a fórmula para o conjunto C, obtemos uma união de A e B.

O axioma da extensão garante que a união é única.

Em outras palavras, provou-se que

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Se A={1,3,4} e B={2,3}, então A U B={1,2,3,4}

Se A={10,30,400} e B={20,30}, então A U B={10,20,30,400}

Se A={1,3,9} e B={1,5,9},então A B = {1,9}

Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então A - B= {1,2}

Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então B - A= {6}

Referências

  1. Sunichi Toida, site da Old Dominium University, College of Sciences, Computer Sciences, Introduction to Set Theory, Set Operations [em linha]