União (matemática)

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Indicação da união entre os conjuntos A e B

Em teoria dos conjuntos, a união de dois ou mais conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. Em outras palavras, a união de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos pertencentes a A ou B ou a ambos. A união é uma operação binária, na álgebra booleana seria o Operador OR. A união de dois conjuntos sempre resultará em todos os elementos de ambos os conjuntos, sendo apresentados apenas uma única vez. É representada pelo símbolo .

Representando por |X| o cardinal de um conjunto X, e por a interseção de conjuntos, tem-se

,

que vale para A e B conjuntos finitos ou infinitos. Para conjuntos finitos, a igualdade anterior pode ser escrita na forma

,

que é um caso particular do princípio da inclusão-exclusão.

Definição[editar | editar código-fonte]

Pela teoria básica de conjuntos, define-se por:[1]

Por exemplo:

  1. Se A = {1, 2, 3} e B = {4 ,5}, então
  2. Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, então . Note que os elementos do conjunto não são repetidos.

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.

Este conjunto existe, combinando o axioma do par com o axioma da união:

(Axioma do par)
(Axioma da união)

Aplicando a segunda proposição ao conjunto F da primeira, temos que:

Finalmente, aplicando o axioma da separação com a fórmula para o conjunto C, obtemos uma união de A e B.

O axioma da extensão garante que a união é única.

Em outras palavras, provou-se que

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Se A={1,3,4} e B={2,3}, então A U B={1,2,3,4}

Se A={10,30,400} e B={20,30}, então A U B={10,20,30,400}

Se A={1,3,9} e B={1,5,9},então A B = {1,9}

Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então A - B= {1,2}

Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então B - A= {6}

Propriedade[editar | editar código-fonte]

Uma característica é que somente é possível utilizar este operador caso as tabelas de origem possuam compatibilidade de união, ou seja, as tabelas devem ser equivalentes e gerarem o mesmo tipo de resultado. A união permite realizar a operação entre duas tabelas contendo atributos diferentes, quando esta possuir o número e o tipo de atributos semelhantes, possibilitando a compatibilidade da união.

Sintaxe[editar | editar código-fonte]

Conseqüência imediata da definição de que a união é um comutativo, podemos representar em símbolos:

A união é também uma adesão:

Quando utilizamos o operador união em dois conjuntos, elimina a duplicidade automaticamente:
A = (A,B,C,R) B = (B,D,R,K) AUB=(A,B,C,R,D,K).

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Considerando dois conjuntos finitos,A = (1, 2, 3) eB = (2, 3, 4). A união é obtida considerando todos os elementos pertencentes a pelo menos um dos dois conjuntos:

No mundo real podemos representar duas tabelas:

Chegada
Chegada Trem Estação Hora
1 ES609 Firenze S.M.N. 15.30'
2 ES609 Bologna C. 16.30'
3 ES609 Padova 17.50'
4 ES609 Venezia S. Lucia 18.25'
Partida
Partida Trem Estação Hora
1 ES609 Roma Termini 14.00'
2 ES609 Firenze S.M.N. 15.40'
3 ES609 Bologna C. 16.35'
4 ES609 Padova 17.55'

Suponhamos que precisamos de uma tabela com os trens que passam em Bolonha (partem e chegam), o comando SQL mais adequado é o seguinte:

SELECT hora, trem
FROM chegada
WHERE estacao LIKE "Bologna%"

UNION

SELECT hora, trem
FROM partida
WHERE estacao LIKE "Bologna%"

Que produzirá o seguinte resultado:

Hora Trem
16.30' ES609
16.35' ES609

Referências

  1. Sunichi Toida, site da Old Dominium University, College of Sciences, Computer Sciences, Introduction to Set Theory, Set Operations [em linha]