Axioma de Martin

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No campo matemático da teoria dos conjuntos, o axioma de Martin, introduzido por Donald A. Martin e Robert M. Solovay (1970), é uma sentença que é independente dos axiomas da teoria dos conjuntos de ZFC. Esta é implícita pela hipótese contínua, mas é consistente com ZFC e a negação da hipótese contínua. Informalmente, ele afirma que todos os cardinais menores que a cardinalidade do contínuo, c, se comportam aproximadamente como . A intuição por trás disso pode ser entendida através do estudo da prova do lema de Rasiowa–Sikorski. É um princípio que é usado para controlar alguns argumentos forçados.

Sentença do Axioma de Martin[editar | editar código-fonte]

Para qualquer cardinal k, é definida uma sentença, denotada por MA(k):

Para qualquer ordem parcial P satisfazendo a condição de cadeia contável (também chamada de ccc) e qualquer família D de conjuntos densos em P tais que |D|k, há um filtro F em P tal que Fd é não-vazio para todo d em D.

Como é um teorema de ZFC que MA(c) falha, o axioma de Martin é escrito como:

Axioma de Martin (MA): Para todo k < c, MA(k) é válida.

Neste caso (para aplicação da ccc), uma anti-corrente é um subconjunto A de P tal que quaisquer dois membros distintos de A são incompatíveis (dois elementos são ditos compatíveis se existe um elemento comum abaixo dos dois na ordem parcial). Isto difere, por exemplo, da noção de anti-corrente no contexto de árvores.

MA() é simplesmente verdadeiro. Isto é conhecido como o lema de Rasiowa–Sikorski.

MA() é falso: [0, 1] é um espaço compacto Hausdorff, o qual é separável e por isso obedece à ccc. Ele não possui pontos isolados, então os pontos nele não são densos, mas o é a união de pontos.

Formas equivalentes de MA(k)[editar | editar código-fonte]

As seguintes sentenças são equivalentes ao Axioma de Martin:

  • Se X é um espaço topológico compacto Hausdorff que satisfaz a ccc, então X não é a união de k ou subconjuntos não-densos menores.
  • Se P é um poset não-vazio que satisfaz a ccc e Y é uma família de suconjuntos cofinais de P com |Y|k então há um conjunto A direcionado para cima tal que A encontra todo elemento de Y.
  • Seja A um não-zero da álgebra booleana que satisfaz a ccc e F uma família de subconjuntos de A com |F|k. Então há um homomorfismo booleano φ: AZ/2Z tal que para todo X em F há um a em X com φ(a) = 1 ou há um limitante superior b para X com φ(b) = 0.

Consequências[editar | editar código-fonte]

O Axioma de Martin possui várias outras consequências combinatórias, analíticas e topológicas:

  • A união de k ou menos conjuntos nulos em uma medida de Borel σ-finita não-atômica em um espaço Polish é nula. Em particular, a união de k ou menos subconjuntos de R de medida Lebesgue 0 também tem medida Lebesgue 0.
  • Um espaço compacto Hausdorff X com |X| < 2k é sequencialmente compacto, i.e., toda sequência tem uma subsequência convergente.
  • Nenhum ultrafiltro não-principal em N tem uma base de cardinalidade < k.
  • Equivalentemente para qualquer x em βN\N nós temos χ(x) ≥ k, onde χ é o caractere de x, e também χ(βN) ≥ k.
  • MA() implica que o produto de espaços topológicos ccc é ccc (o que por sua vez implica que não há linhas Suslin.
  • MA + ¬CH implica que existe um grupo Whitehead que não é livre; Shelah usou isto para mostrar que o problema Whitehead é independente de ZFC.

Ver também[editar | editar código-fonte]

  • O Axioma de Martin possui generalizações chamadas de axioma do forçamento adequado e o máximo de Martin.
  • Sheldon W.Davis sugeriu no seu livro que o Axioma de Martin é motivado pelo teorema da categoria Baire.[1]

Notas[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  • Este artigo foi inicialmente traduzido do artigo da Wikipédia em inglês, cujo título é «Martin's axiom».

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Sheldon W. Davis, 2005, Topology, McGraw Hill, p.29, ISBN 0-07-291006-2.