Álgebra booleana

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Em álgebra abstrata, álgebras booleanas (ou álgebras de Boole) são estruturas algébricas que "captam as propriedades essenciais" dos operadores lógicos e de conjuntos, ou ainda oferecem uma estrutura para se lidar com "afirmações",[1] são assim denominadas em homenagem ao matemático George Boole.[2]

História[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: George Boole

O termo "álgebra booleana" é uma homenagem a George Boole, um matemático inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial, The Laws of Thought, publicado em 1854. A formulação de Boole difere das descritas acima em alguns aspectos importantes. Por exemplo, a conjunção e a disjunção em Boole não era um duplo par de operações. A álgebra booleana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce.[3] A primeira apresentação sistemática de álgebra booleana e reticulados distributivos é devido ao 1890 Vorlesungen de Ernst Schröder . O primeiro tratamento extensivo de álgebra booleana em inglês foi um 1898 na Universal Algebra de Whitehead.[4][5]

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma álgebra booleana é uma 6-upla consistindo de um conjunto munido de duas operações binárias (também denotado por , é geralmente chamado de "ou") e (também denotado por ou por , é geralmente chamado de "e"), uma operação unária (também denotada por ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes (também denotada por ou por , geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e (também denotada por ou por , geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer :

Propriedades Associativas
Propriedades Comutativas
Propriedades Absortivas
Propriedades Distributivas
Elementos Neutros
Elementos Complementares

Alguns autores também incluem a propriedade , para evitar a álgebra booleana com somente um elemento.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O exemplo mais simples de álgebra booliana com mais de um elemento é o conjunto munido das seguintes operações:
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
               
  • Um outro exemplo de álgebra booliana é o conjunto (o elemento é geralmente chamado de "desconhecido" ou de "talvez") munido das seguintes operações:
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                       
  • Dado um conjunto , o conjunto das partes de munido das operações , , , e onde e , é uma álgebra booliana.
  • O intervalo munido das operações , , e , é uma álgebra booliana. Essa álgebra booliana recebe o nome de lógica fuzzy.

Teoremas[editar | editar código-fonte]

Dado uma álgebra booliana sobre , são válidos para quaisquer :

Propriedades Idempotentes

Dupla Negação

Leis de De Morgan

Leis de absorção|Propriedades Absorventes

Elementos Absorventes

Negações do Zero e do Um

Definições alternativas da operação binária (também denotado por , é geralmente chamado de "xor" ou de "ou exclusivo")

Ordem[editar | editar código-fonte]

Dado uma álgebra booliana sobre , é válido quantificação universal|para quaisquer :

  • se e somente se

A relação binária|relação definida como se e somente se uma das duas condições equivalentes acima é satisfeita é uma relação de ordem em . O supremo e o ínfimo do conjunto são e , respectivamente.

Homomorfismos e isomorfismos[editar | editar código-fonte]

Um homomorfismo entre duas álgebras boolianas e é uma função que para quaisquer :

Uma consequência é que .

Um isomorfismo entre duas álgebras boolianas e é um homomorfismo bijetor entre e . O inverso de um isomorfismo é um isomorfismo. Se existe um isomorfismo entre e , dizemos que e são isomorfos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Edward R. Scheinerman. Matemática Discreta - Uma Introdução. Cengage Learning Editores; 2003. ISBN 978-85-221-0291-4. p. 27.
  2. Seymour Lipschutz; Marc Lipson. Matemática Discreta: Coleção Schaum. Bookman; 2004. ISBN 978-85-363-0361-1. p. 454.
  3. Hélio Augusto Godoy de Souza. Documentario, Realidade E Semiose. Annablume; 2002. ISBN 978-85-7419-224-6. p. 198.
  4. CAIO AUGUSTUS MORAIS BOLZANI. Residências Inteligentes. Editora Livraria da Fisica; 2004. ISBN 978-85-88325-25-8. p. 45.
  5. Linda Null; Julia Lobur. Princípios Básicos de Arquitetura e Organização de Computadores. Bookman; ISBN 978-85-7780-766-6. p. 140.
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