Função bijectiva

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Uma função bijetiva, função bijetora, correspondência biunívoca ou bijeção, é uma função injectiva e sobrejectiva (injetora e sobrejetora, como é mais comum em português brasileiro).

Os termos injectiva, sobrejectiva e bijectiva se popularizaram devido ao seu uso por Nicolas Bourbaki[1].

Definição[editar | editar código-fonte]

Sejam e conjuntos e uma função de a . Então é dita bijetiva, ou bijetora, se satisfizer as seguintes condições:

  1. Sobrejetiva: para cada elemento , existe ao menos um tal que ;
  2. Injetiva: para cada elemento , existe um único tal que .

Isto é, uma função é bijetora quando associa cada elemento de a um único de e vice-versa: a cada elemento de , um único de . Esta propriedade também é chamada de associação biunívoca, ou um-para-um, mas este último termo também é utilizado genericamente para funções injetoras.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A função , tal que , é bijetiva.
  • A função , tal que , não é bijetiva, pois não é injetiva: .
  • A função , tal que , não é bijetiva, pois não é sobrejetiva; i.e, não há nenhum elemento do domínio tal que .
  • Dado um conjunto qualquer , a função identidade , tal que, para todo , , é uma bijeção de em si mesmo.
  • Qualquer função afim , da forma , com , é bijetiva.
  • Mais geralmente, qualquer função da forma , com e ímpar, é bijetiva.
  • Dada uma transformação linear entre espaços vetoriais e de dimensão finita, é bijetora se e somente seu determinante for não-nulo.

Condição de existência[editar | editar código-fonte]

Quando dois conjuntos finitos têm o mesmo número de elementos, então existe uma bijecção entre esses conjuntos. Na teoria dos conjuntos, essa propriedade é usada para definir a cardinalidade de conjuntos: dois conjuntos têm o mesmo número de elementos se, e somente se, existe uma bijecção entre eles.

O teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder constrói uma bijecção entre A e B, dadas duas injecções e .

Construção de funções bijetivas[editar | editar código-fonte]

Dada uma função injetiva , podemos formar uma função bijetiva reduzindo o contradomínio ao conjunto imagem de , mantendo os seus valores, de forma que .

A questão análoga para funções sobrejetivas não é trivial: construir uma função bijetiva com a partir de uma função sobrejetiva exige o axioma da escolha, pois para cada teríamos que escolher um único elemento na pré-imagem .

Teoria das Categorias[editar | editar código-fonte]

Na teoria das categorias, funções bijetivas são os isomorfismos da categoria Set. Em várias outras categorias os isomorfismos também são funções bijetivas, normalmente com alguma propriedade extra (por exemplo, na categoria dos grupos os isomorfismos são funções bijetivas que preservam a operação de grupo e a inversão).

Referências

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
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