Diferença simétrica

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Diagrama de Venn de
A diferença simétrica é
a união tirando a interseção:
Venn0111.svg Venn0001.svg Venn0110.svg

Em matemática, a diferença simétrica de dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão em um dos conjuntos, e não em sua interseção. A diferença simétrica dos conjuntos A e B é comumente denotada por

ou

ou

Por exemplo, a diferença simétrica dos conjuntos e é .

O conjunto das partes de qualquer conjunto torna-se um grupo abeliano sob a operação de diferença simétrica, sendo o conjunto vazio como o elemento neutro do grupo e cada elemento deste grupo o seu próprio inverso. O conjunto das partes de qualquer conjunto se torna um anel booleano usando a diferença simétrica como a adição do anel e intersecção como a multiplicação do anel.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Diagrama de Venn de Venn 0110 0110.svg Venn 0000 1111.svg Venn 0110 1001.svg

A diferença simétrica é equivalente à união de ambas as diferenças, que é:

A diferença simétrica também pode ser expressa usando a operação XOR, ⊕, sobre os predicados que descrevem os dois conjuntos da seguinte forma:

A diferença simétrica também pode ser expressa como a união de dois conjuntos, menos a sua interseção:

Em particular, ; a igualdade na inclusão não-estrita ocorre se, e somente se, e são conjuntos disjuntos. Além disso, se denotamos e , então e sempre são disjuntos, e portanto  e  formam uma partição de . Consequentemente, assumindo interseção e diferença simétrica como operações primitivas, a união de dois conjuntos pode ser bem definido em termos de diferença simétrica pelo lado direito da igualdade

.

A diferença simétrica é comutativa e associativa (e, consequentemente, o conjunto de parênteses na expressão anterior foi, portanto, desnecessário):

O conjunto vazio é neutro, e cada conjunto é o seu próprio inverso:

A intersecção é distributiva em relação à diferença simétrica:

e isso mostra que o conjunto de potência de X torna-se um anel com diferença simétrica como a adição e a intersecção de multiplicação. Este é um exemplo de um anel booleano.

Mais propriedades da diferença simétrica:

  • , tal que , são os complementares de , respectivamente, relativo a qualquer conjunto fixo que contenha ambos os conjuntos.
  • , se  é um conjunto de índices arbitrário porém não vazio 
  • Se  é qualquer função e  são conjuntos em codomínios de .

A diferença simétrica pode ser definida em qualquer álgebra Booleana da seguinte maneira:

Esta operação tem as mesmas propriedades que a diferença simétrica de conjuntos.

Diferença simétrica em espaços de medida[editar | editar código-fonte]

Enquanto houver uma noção de "quão grande " é um conjunto, a diferença simétrica entre dois conjuntos pode ser considerada uma medida de quão "longe" eles estão. Primeiro, considere um conjunto finito S e a medida de contagem em subconjuntos dada pelo seu tamanho. Agora, considere dois subconjuntos de S e defina distância como o tamanho da sua diferença simétrica. Esta distância é, na verdade, uma métrica de modo que o conjunto das partes de S é um espaço métrico. Se S tem n elementos, então a distância a partir do conjunto vazio de S é n, e este é o máximo de distância, para qualquer par de subconjuntos.[1]

Usando as ideias da teoria da medida, a separação de conjuntos mensuráveis pode ser definida como a medida de sua diferença simétrica. Se μ é uma medida σ-finita definida em uma σ-algebra Σ, a função

é uma pseudométrica em Σ. dμ torna-se uma métrica se Σ é considerada módulo da relação de equivalência X ~Y se, e somente se, . O espação métrico resultante é separável se e somente se L2(μ) é separável.

Se , temos: . De fato,

Seja  um espaço de medida e sejam  e .

A diferença simétrica é mensurável: .

Podemos escrever se, e somente se . A relação "" é uma relação de equivalência em a conjuntos -mensuráveis.

Podemos escrever se, e somente se, para cada existir algum  de tal forma que . A relação "" é uma ordem parcial sobre a família de subconjuntos de .

Podemos escrever se, e somente se,  e . A relação "" é uma relação de equivalência entre os subconjuntos de .

O "fecho simétrico" de é o conjunto de todos os conjuntos -mensuráveis que são para algum . O fecho simétrico de  contém . Se é um sub--álgebra de , o fecho simétrico em questão também será.

Distância de Hausdorff vs. Diferença Simétrica[editar | editar código-fonte]

Duas sequências de formatos ilustrando as diferenças entre a distância de Hausdorff e a diferença simétrica.

A distância de Hausdorff e a (área da) diferença simétrica são ambos pseudométricas sobre o conjunto formas geométricas mensuráveis. No entanto, eles se comportam de forma bastante diferente. A figura ao lado mostra duas sequências de formas, "Vermelho" e "Vermelho ∪ Verde". Quando a distância de Hausdorff entre eles torna-se menor, a área da diferença simétrica entre eles torna-se maior, e vice-versa. Continuando estas sequências em ambas as direções, é possível obter duas seqüências tais que a distância de Hausdorff entre eles irá convergir para 0 e a distância simétrica irá divergir, ou vice-versa.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Claude Flament (1963) Aplicações da Teoria dos grafos para a Estrutura do Grupo, página 16, Prentice-Hall MR 0157785