Métrica (matemática)

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Em Matemática, métrica é um conceito que generaliza a ideia geométrica de distância. Um conjunto em que há uma métrica definida recebe o nome de espaço métrico.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto , uma métrica em é uma função

que possui as seguintes propriedades:

  • É positivamente definida, ou seja, é tal que

para todos os .

  • É simétrica, ou seja, é tal que

para todos os elementos de .

  • Obedece a desigualdade triangular; para todos os elementos de , satisfaz
  • É nula apenas para pontos coincidentes. Ou seja,

No âmbito da relatividade, ao espaço-tempo está associada uma pseudométrica, já que para dois pontos diferentes o quadrado da "distância" (aqui entendida como o comprimento da geodésica entre dois pontos distintos) pode ser zero para pontos distintos e mesmo negativa.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

No conjunto dos números reais, a métrica usual é dada por:

Uma forma de medir distâncias

No conjunto várias métricas podem ser definidas, por exemplo:

No conjunto das funções contínuas no intervalo , :

Em um conjunto qualquer, a métrica discreta:

Bolas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Bola (matemática)

As bolas abertas de raio e centro em um espaço métrico são denotadas por:

Analogamente, as bolas fechadas de raio e centro em um espaço métrico são denotadas por:

Métrica induzida por uma norma[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Espaço normado

Seja uma norma em um espaço , então pode-se definir uma métrica neste espaço por:

Os axiomas da métrica serão automaticamente satisfeitos.

Topologia induzida por uma métrica[editar | editar código-fonte]

A todo espaço métrico está associado, de forma canônica, um espaço topológico. Este espaço pode ser definido de várias maneiras equivalentes.

Seja o conjunto

Em outras palavras, todo elemento A de taud é um subconjunto de S em que cada elemento é também elemento de uma bola aberta B que é subconjunto de A: .

Verifica-se facilmente que é uma topologia sobre . Essa é a topologia induzida por sobre .

Note que o conjunto de todas as bolas abertas de forma uma base para a topologia .

Por exemplo, a métrica discreta induz a topologia discreta.

Limitação[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Conjunto limitado

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em uma bola de raio finito.

Convergência[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Sequência convergente

Uma seqüência é dita convergente para uma ponto se:

Uma seqüência é dita de Cauchy se:

Completeza[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Espaço completo

Um espaço métrico é dito completo se toda seqüência de Cauchy é convergente.

Todo espaço métrico admite um completamento, veja espaço completo.

Métricas equivalentes[editar | editar código-fonte]

Dadas as métricas e no mesmo conjunto , escreveremos, por simplicidade, , , igual a bola de centro a e raio r segundo a métrica . Usaremos os índices 1 e 2 para distinguir objetos definidos com auxílio das métricas ou respectivamente.

Consideremos que é mais fina que , e escreveremos , quando a aplicação identidade for contínua. Como para todo , a definição de continuidade apresenta a seguinte condição necessária e suficiente para que seja mais fina que : para todo e todo , existe tal que . Ou seja,

Exemplos:

  • Seja uma métrica discreta. Se o espaço métrico é discreto, então é mais fina do que qualquer outra métrica discreta em . Por outro lado, se for mais fina do que a métrica discreta então, para todo , existe uma bola contida na bola . Logo e portanto também é discreta.
  • Se existir uma constante tal que para quaisquer , então mais fina do que .

---Proposição: Sejam e espaços métricos sobre o mesmo conjunto . As seguintes afirmações são equivalentes:

  1. , quando a aplicação identidade for contínua;
  2. Para todo espaço métrico , contínua contínua, ou seja, toda aplicação contínua segundo é contínua segundo ;
  3. Se é contínua então é contínua;
  4. Para todo , a função , definida por é contínua no ponto ;
  5. Toda bola aberta segundo contém uma bola aberta de mesmo centro segundo ;
  6. A função x é contínua.

---Proposição: A aplicação injetiva é contínua se, e somente se, a métrica é mais fina do que a métrica , induzida em por .

Exemplos:

  • Como , dada por , é uma bijeção contínua, segue- se que a métrica em é mais fina do que a métrica , induzida por .

---Definição: Duas métricas e num espaço chamam- se quando cada uma delas é mais fina do que a outra, isto é, quando a aplicação identidade é homeomorfismo. Denotamos por . A relação é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Duas métricas discretas no mesmo espaço são sempre equivalentes. Se e é discreta, então é discreta.

---Definição: A fim de que se tenha em , é necessário e suficiente que qualquer bola aberta em relação a uma dessas métricas contenha uma bola aberta de mesmo centro em relação à outra.

Exemplos:

  • As métricas no plano são equivalentes, pois todo disco contém um quadrado com diagonais paralelas aos eixos, o qual contém um quadrado de lados paralelos aos eixos e este, por sua vez, contém um disco, todas essas figuras com o mesmo centro.
  • Se existirem constantes tais que para quaisquer , então as métricas e são equivalentes pois a aplicação identidade e sua inversa são, neste caso, ambas lipschitzianas. Assim, por exemplo, no produto cartesiano x ... x , as métricas são equivalentes, pois cumprem . Em particular, no espaço , as métricas , e são equivalentes.
  • Seja uma métrica em . Pondo e obtêm- se métricas em . Afirmamos que e são ambas equivalentes a Em particular, vemos que toda métrica é equivalente a alguma métrica limitada, pois e .

---Proposição: A bijeção é um homeomorfismo se, e somente se, a métrica é equivalente à métrica , induzida em por .

---Corolário: A aplicação é contínua se, e somente se , a métrica x , definida por é equivalente a . Em particular, se é contínua, então a métrica é equivalente a

---Proposição: Sejam e . As seguintes afirmações são equivalentes:

  1. .
  2. Uma aplicação é contínua segundo se, e somente se , é contínua segundo .
  3. Uma função real é contínua segundo se, e somente se , é contínua segundo .
  4. Para todo , as funções , dadas por , são contínuas no ponto
  5. Toda bola aberta segundo uma dessas métricas contém uma bola aberta de mesmo centro segundo a outra.
  6. As funções x e x são contínuas.

Em tese:

  • Duas métricas, e , sobre o mesmo espaço métrico são ditas equivalentes se induzirem a mesma topologia.
  • Duas métricas, e , sobre o mesmo espaço métrico são ditas uniformemente equivalentes se existirem duas constantes positivas, e tais que:

Obs.: Métricas uniformemente equivalentes são equivalentes.



Referência[editar | editar código-fonte]

  • Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas
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