No âmbito da relatividade, ao espaço-tempo está associada uma pseudométrica, já que para dois pontos diferentes o quadrado da "distância" (aqui entendida como o comprimento da geodésica entre dois pontos distintos) pode ser zero para pontos distintos e mesmo negativa.
A todo espaço métrico está associado, de forma canônica, um espaço topológico. Este espaço pode ser definido de várias maneiras equivalentes.
Seja o conjunto
Em outras palavras, todo elemento A de taud é um subconjunto de S em que cada elemento é também elemento de uma bola aberta B que é subconjunto de A: .
Verifica-se facilmente que é uma topologia sobre . Essa é a topologia induzida por sobre .
Note que o conjunto de todas as bolas abertas de forma uma base para a topologia .
Dadas as métricas e no mesmo conjunto , escreveremos, por simplicidade, , , igual a bola de centro a e raio r segundo a métrica . Usaremos os índices 1 e 2 para distinguir objetos definidos com auxílio das métricas ou respectivamente.
Consideremos que é mais fina que , e escreveremos , quando a aplicação identidade for contínua. Como para todo , a definição de continuidade apresenta a seguinte condição necessária e suficiente para que seja mais fina que : para todo e todo , existe tal que . Ou seja,
Exemplos:
Seja uma métrica discreta. Se o espaço métrico é discreto, então é mais fina do que qualquer outra métrica discreta em . Por outro lado, se for mais fina do que a métrica discreta então, para todo , existe uma bola contida na bola . Logo e portanto também é discreta.
Se existir uma constante tal que para quaisquer , então mais fina do que .
---Proposição: Sejam e espaços métricos sobre o mesmo conjunto . As seguintes afirmações são equivalentes:
, quando a aplicação identidade for contínua;
Para todo espaço métrico , contínua contínua, ou seja, toda aplicação contínua segundo é contínua segundo ;
Se é contínua então é contínua;
Para todo , a função , definida por é contínua no ponto ;
Toda bola aberta segundo contém uma bola aberta de mesmo centro segundo ;
A função x é contínua.
---Proposição: A aplicação injetiva é contínua se, e somente se, a métrica é mais fina do que a métrica , induzida em por .
Exemplos:
Como , dada por , é uma bijeção contínua, segue- se que a métrica em é mais fina do que a métrica , induzida por .
---Definição: Duas métricas e num espaço chamam- se quando cada uma delas é mais fina do que a outra, isto é, quando a aplicação identidade é homeomorfismo. Denotamos por . A relação é reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo: Duas métricas discretas no mesmo espaço são sempre equivalentes. Se e é discreta, então é discreta.
---Definição: A fim de que se tenha em , é necessário e suficiente que qualquer bola aberta em relação a uma dessas métricas contenha uma bola aberta de mesmo centro em relação à outra.
Exemplos:
As métricas no plano são equivalentes, pois todo disco contém um quadrado com diagonais paralelas aos eixos, o qual contém um quadrado de lados paralelos aos eixos e este, por sua vez, contém um disco, todas essas figuras com o mesmo centro.
Se existirem constantes tais que para quaisquer , então as métricas e são equivalentes pois a aplicação identidade e sua inversa são, neste caso, ambas lipschitzianas. Assim, por exemplo, no produto cartesiano x ... x , as métricas são equivalentes, pois cumprem . Em particular, no espaço , as métricas , e são equivalentes.
Seja uma métrica em . Pondo e obtêm- se métricas em . Afirmamos que e são ambas equivalentes a Em particular, vemos que toda métrica é equivalente a alguma métrica limitada, pois e .
---Proposição: A bijeção é um homeomorfismo se, e somente se, a métrica é equivalente à métrica , induzida em por .
---Corolário: A aplicação é contínua se, e somente se , a métrica x , definida por é equivalente a . Em particular, se é contínua, então a métrica é equivalente a
---Proposição: Sejam e . As seguintes afirmações são equivalentes:
.
Uma aplicação é contínua segundo se, e somente se , é contínua segundo .
Uma função real é contínua segundo se, e somente se , é contínua segundo .
Para todo , as funções , dadas por , são contínuas no ponto
Toda bola aberta segundo uma dessas métricas contém uma bola aberta de mesmo centro segundo a outra.
As funções x e x são contínuas.
Em tese:
Duas métricas, e , sobre o mesmo espaço métrico são ditas equivalentes se induzirem a mesma topologia.
Duas métricas, e , sobre o mesmo espaço métrico são ditas uniformemente equivalentes se existirem duas constantes positivas, e tais que:
Obs.: Métricas uniformemente equivalentes são equivalentes.