Métrica (matemática)

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Em Matemática, métrica é um conceito que generaliza a ideia geométrica de distância. Um conjunto em que há uma métrica definida recebe o nome de espaço métrico.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto , uma métrica em é uma função

que possui as seguintes propriedades:

  • É positivamente definida, ou seja, é tal que

para todos os .

  • É simétrica, ou seja, é tal que

para todos os elementos de .

  • Obedece a desigualdade triangular; para todos os elementos de , satisfaz
  • É nula apenas para pontos coincidentes. Ou seja,

No âmbito da relatividade, ao espaço-tempo está associada uma pseudo-métrica, já que para dois pontos diferentes o quadrado da "distância" (aqui entendida como o comprimento da geodésica entre dois pontos distintos) pode ser zero para pontos distintos e mesmo negativa.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

No conjunto dos números reais, a métrica usual é dada por:

Uma forma de medir distâncias

No conjunto várias métricas podem ser definidas, por exemplo:

No conjunto das funções contínuas no intervalo , :

Em um conjunto qualquer, a métrica discreta:

Bolas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Bola (matemática)

As bolas abertas de raio e centro em um espaço métrico são denotadas por:

Analogamente, as bolas fechadas de raio e centro em um espaço métrico são denotadas por:

Métrica induzida por uma norma[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Espaço normado

Seja uma norma em um espaço , então pode-se definir uma métrica neste espaço por:

Os axiomas da métrica serão automaticamente satisfeitos.

Topologia induzida por uma métrica[editar | editar código-fonte]

A todo espaço métrico está associado, de forma canônica, um espaço topológico. Este espaçõ pode ser definido de várias maneiras equivalentes.

Seja o conjunto

Em outras palavras, todo elemento A de taud é um subconjunto de S em que cada elemento é também elemento de uma bola aberta B que é subconjunto de A: .

Verifica-se facilmente que é uma topologia sobre . Essa é a topologia induzida por sobre .

Note que o conjunto de todas as bolas abertas de forma uma base para a topologia .

Por exemplo, a métrica discreta induz a topologia discreta.

Limitação[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Conjunto limitado

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em uma bola de raio finito.

Convergência[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Sequência convergente

Uma seqüência é dita convergente para uma ponto se:

Uma seqüência é dita de Cauchy se:

Completeza[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Espaço completo

Um espaço métrico é dito completo se toda seqüência de Cauchy é convergente.

Todo espaço métrico admite um completamento, veja espaço completo.

Métricas equivalentes[editar | editar código-fonte]

  • Duas métricas, e , sobre o mesmo espaço métrico são ditas equivalentes se induzirem a mesma topologia.
  • Duas métricas, e , sobre o mesmo espaço métrico são ditas uniformemente equivalentes se existirem duas constantes positivas, e tais que:

Obs.: Métricas uniformemente equivalentes são equivalentes.

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