Espaço topológico

Um mecanismo impresso em 3D que consiste em três anéis ligados com dentes de engrenagem

Em matemática, um espaço topológico é, em termos gerais, um espaço geométrico no qual a proximidade é definida, mas não pode necessariamente ser medida por uma distância numérica. Mais especificamente, um espaço topológico é um conjunto cujos elementos são chamados de pontos, juntamente com uma estrutura adicional chamada topologia, que pode ser definida como um conjunto de vizinhanças para cada ponto que satisfaz alguns axiomas formalizando o conceito de proximidade. Existem várias definições equivalentes de uma topologia, sendo a mais comumente usada a definição através de conjuntos abertos.

Um espaço topológico é o tipo mais geral de espaço matemático que permite a definição de limites, continuidade e conexidade. Tipos comuns de espaços topológicos incluem espaços euclidianos, espaços métricos e variedades.

Embora muito geral, o conceito de espaços topológicos é fundamental e utilizado em praticamente todos os ramos da matemática moderna. O estudo dos espaços topológicos por si só é chamado de topologia geral (ou topologia de conjuntos de pontos).

História

Diz-se que uma superfície curva possui curvatura contínua em um de seus pontos A, se a direção de todas as linhas retas traçadas de A para pontos da superfície a uma distância infinitesimal de A defletirem infinitesimalmente de um mesmo plano que passa por A.

Carl Friedrich Gauss, Gauss 1827

Por volta de 1735, Leonhard Euler descobriu a fórmula {{{1}}} relacionando o número de vértices (V), arestas (A) e faces (F) de um poliedro convexo, e consequentemente de um grafo planar. O estudo e a generalização dessa fórmula, especificamente por Cauchy (1789–1857) e L'Huilier (1750–1840), impulsionaram o estudo da topologia. Em 1827, Carl Friedrich Gauss publicou Investigações gerais de superfícies curvas, cuja seção 3 define a superfície curva de maneira semelhante ao entendimento topológico moderno.

Ainda assim, "até o trabalho de Riemann no início da década de 1850, as superfícies eram sempre tratadas de um ponto de vista local (como superfícies paramétricas) e questões topológicas nunca eram consideradas". "Möbius e Jordan parecem ser os primeiros a perceber que o problema principal sobre a topologia das superfícies (compactas) é encontrar invariantes (preferencialmente numéricos) para decidir a equivalência das superfícies, isto é, para decidir se duas superfícies são homeomorfas ou não."

O assunto foi claramente definido por Felix Klein em seu "Programa de Erlangen" (1872): as invariantes geométricas de transformações contínuas arbitrárias, uma espécie de geometria. O termo "topologia" foi introduzido por Johann Benedict Listing em 1847, embora ele já tivesse usado o termo em correspondências alguns anos antes, em vez do anteriormente usado "Analysis situs". A fundação desta ciência, para um espaço de qualquer dimensão, foi criada por Henri Poincaré. Seu primeiro artigo sobre este tópico apareceu em 1894. Na década de 1930, James Waddell Alexander II e Hassler Whitney expressaram pela primeira vez a ideia de que uma superfície é um espaço topológico que é localmente como um plano euclidiano.

Os espaços topológicos foram definidos pela primeira vez por Felix Hausdorff em 1914 em sua obra seminal "Princípios da Teoria dos Conjuntos". Espaços métricos haviam sido definidos anteriormente, em 1906, por Maurice Fréchet, embora tenha sido Hausdorff quem popularizou o termo "espaço métrico" (em alemão: metrischer Raum).

Definições

Ver artigo principal: Fundamentos axiomáticos dos espaços topológicos

A utilidade do conceito de topologia é demonstrada pelo fato de existirem várias definições equivalentes dessa estrutura matemática. Assim, escolhe-se a axiomatização mais adequada para a aplicação. A mais comumente usada é a formulada em termos de conjuntos abertos, mas talvez mais intuitiva seja a formulada em termos de vizinhanças, motivo pelo qual esta é apresentada primeiro.

Definição via vizinhanças

Esta axiomatização é devida a Felix Hausdorff. Seja $X$ um conjunto (possivelmente vazio). Os elementos de $X$ são geralmente chamados de pontos, embora possam ser qualquer objeto matemático. Seja ${\mathcal {N}}$ uma função que atribui a cada $x$ (ponto) em $X$ uma coleção não vazia ${\mathcal {N}}(x)$ de subconjuntos de $X$. Os elementos de ${\mathcal {N}}(x)$ serão chamados de vizinhanças de $x$ em relação a ${\mathcal {N}}$ (ou, simplesmente, vizinhanças de $x$). A função ${\mathcal {N}}$ é chamada de topologia de vizinhanças se os axiomas abaixo forem satisfeitos; e então $X$ com ${\mathcal {N}}$ é chamado de espaço topológico.

1. Se $N$ é uma vizinhança de $x$ (isto é, $N\in {\mathcal {N}}(x)$), então $x\in N.$ Em outras palavras, cada ponto do conjunto $X$ pertence a todas as suas vizinhanças em relação a ${\mathcal {N}}.$
2. Se $N$ é um subconjunto de $X$ e inclui uma vizinhança de $x,$ então $N$ é uma vizinhança de $x.$ Ou seja, todo superconjunto de uma vizinhança de um ponto $x\in X$ é também uma vizinhança de $x.$
3. A interseção de duas vizinhanças de $x$ é uma vizinhança de $x.$
4. Qualquer vizinhança $N$ de $x$ inclui uma vizinhança $M$ de $x$ tal que $N$ é uma vizinhança de cada ponto de $M.$

Os três primeiros axiomas para vizinhanças têm um significado claro. O quarto axioma tem um uso muito importante na estrutura da teoria, que é o de ligar as vizinhanças de diferentes pontos de $X.$

Um exemplo padrão de tal sistema de vizinhanças ocorre na reta real $\mathbb {R} ,$ onde um subconjunto $N$ de $\mathbb {R}$ é definido como uma vizinhança de um número real $x$ se incluir um intervalo aberto contendo $x.$

Dada essa estrutura, um subconjunto $U$ de $X$ é definido como aberto se $U$ for uma vizinhança de todos os pontos em $U.$ Os conjuntos abertos então satisfazem os axiomas dados abaixo na próxima definição de um espaço topológico. Por outro lado, quando os conjuntos abertos de um espaço topológico são dados, as vizinhanças que satisfazem os axiomas acima podem ser recuperadas definindo $N$ como uma vizinhança de $x$ se $N$ incluir um conjunto aberto $U$ tal que $x\in U.$

Definição via conjuntos abertos

Uma topologia sobre um conjunto $X$ pode ser definida como uma coleção $\tau$ de subconjuntos de $X$, chamados de conjuntos abertos e que satisfazem os seguintes axiomas:

1. O conjunto vazio e o próprio $X$ pertencem a $\tau .$
2. Qualquer união arbitrária (finita ou infinita) de membros de $\tau$ pertence a $\tau .$
3. A interseção de qualquer número finito de membros de $\tau$ pertence a $\tau .$

Como esta definição de topologia é a mais comumente usada, o conjunto $\tau$ dos conjuntos abertos é comumente chamado de topologia sobre $X.$

Diz-se que um subconjunto $C\subseteq X$ é fechado em $(X,\tau )$ se o seu complemento $X\setminus C$ for um conjunto aberto. Note que a partir dessa definição, segue-se que o conjunto vazio e $X$ são simultaneamente abertos e fechados – isto é, os dois conjuntos são complementos um do outro, enquanto cada um deles é, em si mesmo, aberto. Em geral, qualquer subconjunto de $X$ com esta propriedade é dito ser clopen (aberto e fechado).

Exemplos de topologias

Seja $\tau$ denotada pelos círculos; aqui estão quatro exemplos e dois não exemplos de topologias no conjunto de três pontos $\{1,2,3\}.$ O exemplo inferior esquerdo não é uma topologia porque a união de $\{2\}$ e $\{3\}$ [isto é, $\{2,3\}$] está faltando; o exemplo inferior direito não é uma topologia porque a interseção de $\{1,2\}$ e $\{2,3\}$ [isto é, $\{2\}$], está faltando.

1. Dado $X=\{1,2,3,4\},$ a topologia trivial ou indiscreta em $X$ é a família $\tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}$ que consiste apenas nos dois subconjuntos de $X$ exigidos pelos axiomas.
2. Dado $X=\{1,2,3,4\},$ a família $\tau =\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}$ de seis subconjuntos de $X$ forma outra topologia sobre $X.$
3. Dado $X=\{1,2,3,4\},$ a topologia discreta sobre $X$ é o conjunto das partes de $X,$ que é a família $\tau ={\mathcal {P}}(X)$ consistindo em todos os subconjuntos possíveis de $X.$ Neste caso, o espaço topológico $(X,\tau )$ é chamado de espaço discreto.
4. Dado $X=\mathbb {Z} ,$ o conjunto dos inteiros, a família $\tau$ de todos os subconjuntos finitos dos inteiros mais o próprio $\mathbb {Z}$ não é uma topologia porque (por exemplo) a união de todos os conjuntos finitos que não contêm o zero não é finita e, portanto, não é um membro da família de conjuntos finitos. A união de todos os conjuntos finitos que não contêm o zero também não é todo o conjunto $\mathbb {Z} ,$ e por isso não pode estar em $\tau .$

Definição via conjuntos fechados

Usando as Leis de De Morgan, os axiomas acima que definem conjuntos abertos tornam-se axiomas que definem conjuntos fechados:

1. O conjunto vazio e X são fechados.
2. A interseção de qualquer coleção de conjuntos fechados também é fechada.
3. A união de qualquer número finito de conjuntos fechados também é fechada.

Usando esses axiomas, outra maneira de definir um espaço topológico é como um conjunto X juntamente com uma coleção τ de subconjuntos fechados de X. Assim, os conjuntos na topologia τ são os conjuntos fechados, e seus complementos em X são os conjuntos abertos.

Outras definições

Existem muitas outras maneiras equivalentes de definir um espaço topológico: em outras palavras, os conceitos de vizinhança, ou o de conjuntos abertos ou fechados, podem ser reconstruídos a partir de outros pontos de partida e satisfazer os axiomas corretos.

Outra maneira de definir um espaço topológico é usando os Axiomas de fechamento de Kuratowski, que definem os conjuntos fechados como os pontos fixos de um operador sobre o conjunto das partes de X.

Uma rede é uma generalização do conceito de sequência. Uma topologia é completamente determinada se, para toda rede em X, o conjunto de seus pontos de acumulação for especificado.

Comparação de topologias

Ver artigo principal: Comparação de topologias

Muitas topologias podem ser definidas em um conjunto para formar um espaço topológico. Quando cada conjunto aberto de uma topologia τ₁ também é aberto para uma topologia τ₂, diz-se que τ₂ é mais fina que τ₁, e τ₁ é mais grossa que τ₂. Uma demonstração que se baseia apenas na existência de certos conjuntos abertos também será válida para qualquer topologia mais fina e, da mesma forma, uma demonstração que se baseia apenas em certos conjuntos não serem abertos aplica-se a qualquer topologia mais grossa. Os termos maior e menor são às vezes usados no lugar de mais fina e mais grossa, respectivamente. Os termos mais forte e mais fraca também são usados na literatura, mas com pouco acordo sobre o significado, de modo que se deve sempre verificar a convenção adotada pelo autor durante a leitura.

A coleção de todas as topologias sobre um determinado conjunto fixo X forma um reticulado completo: se F = {τ_α : α ∈ A} é uma coleção de topologias em X, então o ínfimo de F é a interseção de F, e o supremo de F é o ínfimo da coleção de todas as topologias em X que contêm todos os membros de F.

Funções contínuas

Ver artigo principal: Função contínua

Uma função f : X → Y entre espaços topológicos é chamada de contínua se, para todo x ∈ X e toda vizinhança N de f(x), existe uma vizinhança M de x tal que f(M) ⊆ N. Isso se relaciona facilmente com a definição usual na análise matemática. Equivalentemente, f é contínua se a imagem inversa (ou pré-imagem) de cada conjunto aberto é aberta. Esta é uma tentativa de capturar a intuição de que não há "saltos" ou "separações" na função. Um homeomorfismo é uma bijeção que é contínua e cuja inversa também é contínua. Dois espaços são chamados de homeomorfos se existir um homeomorfismo entre eles. Do ponto de vista da topologia, espaços homeomorfos são essencialmente idênticos.

Na teoria das categorias, uma das categorias fundamentais é a Top, que denota a categoria dos espaços topológicos, cujos objetos são espaços topológicos e cujos morfismos são funções contínuas. A tentativa de classificar os objetos desta categoria (a menos de homeomorfismo) através de invariantes tem motivado áreas de pesquisa, tais como a teoria da homotopia, a teoria da homologia e a teoria K.

Exemplos de espaços topológicos

Um determinado conjunto pode ter muitas topologias diferentes. Se a um conjunto for dada uma topologia diferente, ele é visto como um espaço topológico diferente. Qualquer conjunto pode receber a topologia discreta na qual todo subconjunto é aberto. As únicas sequências ou redes convergentes nesta topologia são aquelas que eventualmente se tornam constantes. Além disso, qualquer conjunto pode receber a topologia trivial (também chamada de topologia indiscreta), na qual apenas o conjunto vazio e o espaço inteiro são abertos. Toda sequência e rede nesta topologia converge para todos os pontos do espaço. Este exemplo mostra que, em espaços topológicos gerais, os limites de sequências não precisam ser únicos. No entanto, frequentemente exige-se que os espaços topológicos sejam espaços de Hausdorff, onde os pontos limite são únicos.

Existem inúmeras topologias em qualquer conjunto finito dado. Tais espaços são chamados de espaços topológicos finitos. Espaços finitos são às vezes usados para fornecer exemplos ou contraexemplos para conjecturas sobre espaços topológicos em geral.

Qualquer conjunto pode receber a topologia cofinita, na qual os conjuntos abertos são o conjunto vazio e os conjuntos cujo complemento é finito. Esta é a menor topologia T₁ em qualquer conjunto infinito.

Qualquer conjunto pode receber a topologia conumerável, na qual um conjunto é definido como aberto se for vazio ou se seu complemento for enumerável. Quando o conjunto é não enumerável, esta topologia serve como um contraexemplo em muitas situações.

A reta real também pode receber a topologia do limite inferior. Aqui, os conjuntos abertos básicos são os intervalos semiabertos [a, b). Esta topologia em ℝ é estritamente mais fina que a topologia euclidiana definida acima; uma sequência converge para um ponto nesta topologia se, e somente se, ela convergir por cima na topologia euclidiana. Este exemplo mostra que um conjunto pode ter muitas topologias distintas definidas sobre ele.

Se γ é um número ordinal, então o conjunto γ = [0, γ) pode ser dotado da topologia da ordem gerada pelos intervalos (α, β), [0, β) e (α, γ), onde α e β são elementos de γ.

Toda variedade tem uma topologia natural, uma vez que é localmente euclidiana. Da mesma forma, todo simplexo e todo complexo simplicial herda uma topologia natural do espaço euclidiano.

O Espaço de Sierpiński é o espaço topológico não discreto mais simples. Ele possui relações importantes com a teoria da computação e a semântica.

Topologia a partir de outras topologias

Todo subconjunto de um espaço topológico pode receber a topologia de subespaço, na qual os conjuntos abertos são as interseções dos conjuntos abertos do espaço maior com o subconjunto. Para qualquer família indexada de espaços topológicos, o produto pode receber a topologia produto, que é gerada pelas imagens inversas de conjuntos abertos dos fatores sob as aplicações de projeção. Por exemplo, em produtos finitos, uma base para a topologia produto consiste em todos os produtos de conjuntos abertos. Para produtos infinitos, há o requisito adicional de que, em um conjunto aberto básico, todas as suas projeções, exceto um número finito delas, sejam o espaço inteiro. Esta construção é um caso especial de uma topologia inicial.

Um espaço quociente é definido da seguinte forma: se $X$ é um espaço topológico e $Y$ é um conjunto, e se $f:X\to Y$ é uma função sobrejetora, então a topologia quociente em $Y$ é a coleção de subconjuntos de $Y$ que possuem imagens inversas abertas sob $f.$ Em outras palavras, a topologia quociente é a topologia mais fina em $Y$ para a qual $f$ é contínua. Um exemplo comum de uma topologia quociente é quando uma relação de equivalência é definida no espaço topológico $X.$ A aplicação $f$ é então a projeção natural sobre o conjunto de classes de equivalência. Esta construção é um caso especial de uma topologia final.

Espaços métricos

Ver artigo principal: Espaço métrico

Os espaços métricos incorporam uma métrica, uma noção precisa de distância entre os pontos.

Todo espaço métrico pode receber uma topologia métrica, na qual os conjuntos abertos básicos são bolas abertas definidas pela métrica. Esta é a topologia padrão em qualquer espaço vetorial normado. Em um espaço vetorial de dimensão finita, esta topologia é a mesma para todas as normas.

Existem muitas maneiras de definir uma topologia em $\mathbb {R} ,$ o conjunto dos números reais. A topologia padrão em $\mathbb {R}$ é gerada pelos intervalos abertos. O conjunto de todos os intervalos abertos forma uma base para a topologia, o que significa que cada conjunto aberto é uma união de alguma coleção de conjuntos da base. Em particular, isso significa que um conjunto é aberto se existe um intervalo aberto de raio não nulo em torno de cada ponto do conjunto. De forma mais geral, os espaços euclidianos $\mathbb {R} ^{n}$ podem receber uma topologia. Na topologia usual em $\mathbb {R} ^{n}$, os conjuntos abertos básicos são as bolas abertas. De forma semelhante, $\mathbb {C} ,$ o conjunto dos números complexos, e $\mathbb {C} ^{n}$ possuem uma topologia padrão na qual os conjuntos abertos básicos são bolas abertas.

Topologia a partir de estruturas algébricas

Para quaisquer objetos algébricos podemos introduzir a topologia discreta, sob a qual as operações algébricas são funções contínuas. Para qualquer estrutura desse tipo que não seja finita, frequentemente temos uma topologia natural compatível com as operações algébricas, no sentido de que as operações algébricas continuam sendo contínuas. Isso leva a conceitos como grupos topológicos, anéis topológicos, corpos topológicos e espaços vetoriais topológicos sobre estes últimos. Corpos locais são corpos topológicos importantes na teoria dos números.

A topologia de Zariski é definida algebricamente sobre o espectro de um anel ou uma variedade algébrica. Em $\mathbb {R} ^{n}$ ou $\mathbb {C} ^{n},$ os conjuntos fechados da topologia de Zariski são os conjuntos de soluções de sistemas de equações polinomiais.

Espaços topológicos com estrutura de ordem

• Espectral: Um espaço é espectral se, e somente se, for o espectro primo de um anel (teorema de Hochster).
• Pré-ordem de especialização: Em um espaço, a pré-ordem de especialização (ou pré-ordem canônica) é definida por $x\leq y$ se, e somente se, $\operatorname {cl} \{x\}\subseteq \operatorname {cl} \{y\},$ onde $\operatorname {cl}$ denota um operador que satisfaz os Axiomas de fechamento de Kuratowski.

Topologia a partir de outras estruturas

Se $\Gamma$ for um filtro sobre um conjunto $X,$ então $\{\varnothing \}\cup \Gamma$ é uma topologia em $X.$

Muitos conjuntos de operadores lineares na análise funcional são dotados de topologias que são definidas especificando-se quando uma determinada sequência de funções converge para a função nula.

Um grafo linear possui uma topologia natural que generaliza muitos dos aspectos geométricos dos grafos com vértices e arestas.

O espaço exterior de um grupo livre $F_{n}$ consiste nas chamadas "estruturas de grafos métricos marcados" de volume 1 em $F_{n}.$

Classificação de espaços topológicos

Ver artigo principal: Lista de invariantes topológicos

Espaços topológicos podem ser classificados de forma ampla, a menos de homeomorfismo, por suas propriedades topológicas. Uma propriedade topológica é uma propriedade dos espaços que é invariante sob homeomorfismos. Para provar que dois espaços não são homeomorfos, basta encontrar uma propriedade topológica que não seja compartilhada por eles. Exemplos de tais propriedades incluem conexidade, compacidade e vários axiomas de separação. Para invariantes algébricos, veja a topologia algébrica.

Ver também

Espaços de Hilbert

Bibliografia

• Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9 
• Lima, Elon Lages (1976). Elementos de topologia geral. [S.l.]: LTC 
• Armstrong, M. A. (1983). Basic Topology. Col: Undergraduate Texts in Mathematics. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-90839-0 
• Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1.ª edição (17 de outubro de 1997). ISBN 0-387-97926-3.
• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. [S.l.]: Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8  (3.ª edição de livros com títulos diferentes)
• Čech, Eduard; Point Sets, Academic Press (1969).
• Fulton, William, Algebraic Topology, (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1.ª edição (5 de setembro de 1997). ISBN 0-387-94327-7.
• Gallier, Jean; Xu, Dianna (2013). A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces. [S.l.]: Springer 
• Gauss, Carl Friedrich (1827). General investigations of curved surfaces. [S.l.: s.n.] 
• Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1.ª edição (1 de junho de 1968). ISBN 0-07-037988-2.
• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2.ª edição (28 de dezembro de 1999). ISBN 0-13-181629-2.
• Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext), Springer; 1.ª edição (6 de julho de 2005). ISBN 0-387-25790-X.
• Schubert, Horst (1968). Topology. [S.l.]: Macdonald Technical & Scientific. ISBN 0-356-02077-0 
• Steen, Lynn A. e Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Vaidyanathaswamy, R. (1999). Set Topology. [S.l.]: Chelsea Publishing Co. ISBN 0486404560 
• Willard, Stephen (2004). General Topology. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6 

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Topological space», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer