Espaço topológico

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Espaços topológicos são estruturas que permitem a formalização de conceitos tais como convergência, conexidade e continuidade. Eles aparecem em praticamente todos os ramos da matemática moderna e são uma noção unificadora central. O ramo da matemática que estuda os espaços topológicos é denominado topologia.

Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Topologia

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma topologia em um conjunto é uma coleção de partes de chamados os abertos da topologia, com as seguintes propriedades:

  1. Se então
  2. Dada uma família arbitrária com tem-se

Um espaço topológico é um par onde é um conjunto e é uma topologia em

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Se é um conjunto, a topologia onde é o conjunto das partes de é denominada a topologia discreta sobre
  • Se é um conjunto, a topologia é denominada a topologia grosseira sobre
  • Um espaço métrico tem uma estrutura natural de espaço topológico para definido como o conjunto das reuniões de bolas abertas
  • Nada impede que, a um conjunto X, esteja associada mais de uma topologia, por exemplo, e Quando todo aberto de for um aberto de diz-se que a topologia é mais grossa que ou, analogamente, que é mais fina que Como o próprio nome indica, a topologia grosseira é mais grossa que qualquer outra, e a topologia discreta é mais fina que qualquer outra.

Fechados[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Conjunto fechado

Um subconjunto de um espaço topológico diz-se fechado se o seu complementar for aberto.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Dada uma família não-vazia de topologias a sua interseção é uma topologia.
  • Essa propriedade permite construir topologias mínimas, ou seja, a menor topologia que satisfaz determinadas propriedades, como sendo a interseção de todas as topologias que satisfazem determinada propriedade (desde que essa propriedade seja hereditária para interseções!).
  • Por exemplo, dada uma coleção S de subconjuntos de X (ou seja, ), sabemos que existe uma topologia que contém S, a topologia discreta Portanto, a família F de todas as topologias que contém S não é vazia, e podemos formar a sua interseção. Esta é a topologia gerada por S, e S é uma sub-base desta topologia.
  • Seja uma topologia em X, e Para tornar Y um subespaço topológico, existe uma topologia canônica em Y, Uma forma interessante de construir essa topologia se baseia no conceito de função contínua. A função inclusão é contínua para a topologia discreta em Y, portanto a família de todas as topologias em Y para as quais i é contínua é um conjunto não-vazio. A topologia canônica de Y é precisamente a menor topologia que torna a inclusão uma função contínua.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Coleção Projeto Euclides 5ª ed. IMPA [S.l.] p. 299. ISBN 978-85-244-0158-9. 
  • Lima, Elon Lages (1976). Elementos de topologia geral LTC [S.l.] 
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