Conexidade

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
NoFonti.svg
Esta página ou secção cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo (desde julho de 2013). Por favor, adicione mais referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Material sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)
De cima para baixo: os espaços vermelho A, magenta B, amarelo C e laranja D são todos conexos, enquanto o espaço verde E (composto pelos subconjuntos E1, E2, E3 e E4) é desconexo. Para além disso, A e B são também simplesmente conexos (género 0), enquanto C e D não o são: C tem género 1 e D tem género 4.

Em topologia e ramos relacionados da matemática, conexidade (português brasileiro) ou conectividade (português europeu) é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.

Podemos ainda dizer que um conjunto é conexo quando não admite outra cisão além da trivial. Neste caso se existirem conjuntos abertos tais que com então ou

Observemos que um subconjunto admite uma cisão não-trivial quando existem conjuntos abertos tais que com Neste caso dizemos que é desconexo.

Estas definições são válidas inclusive para o caso particular de

Do ponto de vista da topologia dizemos que, um espaço topológico é desconexo se contém dois abertos complementares não vazios. Em caso contrário diz-se conexo.

Os subconjuntos e são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de Se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então é conexo. Por outro lado, se existe aberto e fechado com então é desconexo.

Definição Formal[editar | editar código-fonte]

Um espaço topológico é dito desconexo se for união de dois conjuntos disjuntos abertos não-vazios. Caso contrário, é dito conexo.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Todo conjunto admite pelo menos a cisão trivial
  • A união de qualquer família de subespaços conexos de cuja intersecção é não vazia, é um subespaço conexo de '.
  • A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo.
  • Todo conjunto homeomorfo a um conjunto conexo é também um conjunto conexo.

Componentes conexas[editar | editar código-fonte]

  • Uma componente conexa de um espaço topológico é um subespaço conexo maximal.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Um espaço conexo que não é conexo por arcos.
  • e são conexos.
  • e são desconexos.
  • No o gráfico da função

é conexo. Este é o contra-exemplo padrão de um espaço conexo que não é conexo por arcos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.