Grupo fundamental

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O grupo fundamental de um toro é gerado pelas duas curvas a e b.

O grupo fundamental é o primeiro dos grupos de homotopia. Este grupo mede a conectividade de um espaço topológico. Um espaço topológico com grupo fundamental trivial diz-se simplesmente conexo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço topológico e um ponto. O grupo fundamental de baseado em , representado por é definido pelo conjunto das classes de homotopia dos lacetes centrados em onde impomos a operação de grupo induzida pela operação justaposição: se e são lacetes centrados em , e indica a classe de homotopia, então .

Toda curva de a define um homomorfismo de grupos entre e por . Este homomorfismo é inversível e logo, é um isomorfismo de grupos. Assim, quando é conexo por arcos, o ponto base não tem qualquer influência no grupo fundamental, ou seja, é isomorfo a , para quaisquer .

Aplicações contínuas e homomorfismos[editar | editar código-fonte]

Se é uma aplicação contínua tal que , então ela induz um homomorfismo entre e dado por . Se esta aplicação for um homeomorfismo, então o homomorfismo de grupos induzido é um isomorfismo. Um fato importante é que .

Functorialidade[editar | editar código-fonte]

Seja a categoria dos espaços topológicos com base em um ponto. Isto é, a categoria cujos objetos são duplas , onde o primeiro elemento é um espaço topológico e o segundo um ponto pertencente a ele, e os morfismos são aplicações contínuas tal que . Então pode ser visto como um functor entre e . Isso implica entre outras coisas que dois espaços topológicos conexos por caminhos com grupos fundamentais diferentes não podem ser homeomorfos.


Referências

  • Munkres, James R. (1997). Elements of Algebraic Topology Mir [S.l.] p. 454. ISBN 5855012034. Verifique |isbn= (Ajuda). 
  • Joseph J., Rotman (1988). An Introduction to Algebraic Topology Springer [S.l.] ISBN 0387966781. Verifique |isbn= (Ajuda). 


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