Functor

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa

Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, um functor ou funtor[1] é um mapeamento entre categorias, preservando domínios, contradomínios, identidades e composições, analogamente a como, por exemplo, um homomorfismo de grupos preserva o elemento neutro e a operação do grupo.

Segundo Saunders Mac Lane, o conceito de functor foi, pela primeira vez, reconhecido na topologia algébrica, no estudo de grupos de homologia.[2]

Definição[editar | editar código-fonte]

Dadas categorias C e D, um functor de C até D, escrito F : CD, consiste

  • de uma atribuição, a cada objeto xC, de um objeto F(x) ∈ D,
  • de uma atribuição, a cada morfismo f : xy, de um morfismo Fx, y(f) = F(f) : F(x) → F(y), (equivalentemente, dom(F(f)) = F(dom(f)) e cod(F(f)) = F(cod(f)))

satisfazendo

  • F(1x) = 1F(x) para cada objeto xC,
  • F(gf) = F(g) ∘ F(f) para cada dupla de morfismos f : xy e g : yz.

Chama-se esse F : CD mais explicitamente de functor covariante. Há, também, o conceito de functor contravariante[nota 1][3] de C até D, atribuindo, a cada morfismo f : xy, um morfismo G(f) : F(y) → F(x), satisfazendo G(1x) = 1G(x) e G(gf) = G(f) ∘ G(g); os functores contravariantes de C até D estão em correspondência biunívoca com os functores covariantes CopD, em que Cop denota a categoria oposta a C.

Por vezes, em vez de se dizer que F é functor (covariante ou contravariante), diz-se que a atribuição xF(x) é functorial.[2][4][5][6]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Dadas A e B categorias, com objeto bB, há o functor constante Δ(b) : AB, com atribuição
  • Se Set denota a categoria dos conjuntos pequenos, há Q functor contravariante de Set a Set, com atribuição
    em que P(A) é o conjunto de partes de A, e f(S) é a pré-imagem de S por f.
  • Se K-Vet denota a categoria dos espaços vetoriais pequenos sobre um corpo K, há functor contravariante (_)* de K-Vet de K-Vet, com correspondência
    em que U* = homK(U, K) denota o espaço dual a U.
  • A atribuição de cada espaço com base (X, x) ao correspondente grupo fundamental π1(X, x) é functorial.[7][4]

Bifunctor[editar | editar código-fonte]

Um bifunctor é um functor cujo domínio é um produto de categorias B × C. Dado bifunctor F : B × CD e objeto cC, o functor F(–, c) : BD é definido por:

De forma análoga, há o functor F(b, –) : CD.[8]

Categoria de categorias e functores[editar | editar código-fonte]

Para cada U universo de Grothendieck, há a categoria (ou, brevemente, ) cujos objetos são as categorias que pertencem a U e cujos morfismos são os functores entre essas categorias.[9][4]

Um conceito similar é a categoria de functores DC, cujos objetos são os functores CD, e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.[10]

Functor hom[editar | editar código-fonte]

Seja uma categoria. Denotando-se por uma categoria de conjuntos suficientemente grande, há functor[11]

em que é o conjunto de morfismos , e, dados , morfismos em ,

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Notas

  1. O nome cofunctor é usado, mas não é recomendado.

Referências

  1. Português à letra. «Functor ou Funtor». Consultado em 30 de março de 2020 
  2. a b (Mac Lane, §I.3, §II.2)
  3. Vergura, Marco (setembro de 2015). «Is "cofunctor" an accepted term for contravariant functors? – Math.Stackexchange» 
  4. a b c (Riehl, §1.3)
  5. (Adámek, Herrlich, Strecker, §I.3.17)
  6. (Aluffi, §VIII.1.1)
  7. (Adámek, Herrlich, Strecker, §I.3.20)
  8. (Mac Lane, §II.3)
  9. (Mac Lane, §I.3, §I.6)
  10. (Mac Lane, §II.4)
  11. (Mac Lane, §II.2, §II.3)

Bibliografia[editar | editar código-fonte]