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Coequalizador (teoria das categorias)

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Na teoria das categorias, coequalizador é o dual ao conceito de equalizador, e, a grosso modo, generaliza a uma categoria qualquer a noção de quociente por uma relação de equivalência.[1]

Um coequalizador de dois morfismos paralelos f, g : ab numa categoria C é um objeto eC junto a um morfismo u : be, tal que uf = ug, e tal que, para todo morfismo h : bc de C satisfazendo hf = hg, existe único h′ : ec com h = h′u. Isto é representado num diagrama comutativo:

Sendo caso particular do colimite, coequalizador de dois morfismos paralelos, se existe, é único a menos de isomorfismo.[2]

  • O coequalizador de funções f, g : AB na categoria dos conjuntos é o quociente B ∕ ∼, onde é a menor relação de equivalência em B satisfazendo f(x) ∼ g(x) para cada xA; a função u : BB ∕ ∼ será a projeção nas classes de equivalência.[2]
  • O coequalizador de morfismos f, g : AB na categoria dos grupos é o quociente de B pelo menor subgrupo normal de B contendo {f(x) ⋅ g(x)−1 | xA}.[3]

Coequalizador que cinde

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Um diagrama de coequalizador que cinde é um diagrama de morfismos tais que hf = hg, hs = 1z, gt = 1y e ft = sh. Neste caso, pode-se provar que h é coequalizador de f, g. (Com efeito, se kf = kg, ksh = kft = kgt = k, e, se k′h = k, k′ = k′hs = ks.) Ainda mais, é coequalizador absoluto, isto é, para cada functor F : CD para qualquer categoria D, F(h) é também coequalizador de F(f), F(g).

Coequalizadores que cindem são usados no enunciado do teorema de monadicidade de Beck.[4]

Ligações externas

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Referências

  1. «Coequalizer – nLab». Consultado em 5 de março de 2020 
  2. a b (Mac Lane, §III.3)
  3. (Riehl, §3.1)
  4. (Riehl, §5.4, §5.5)


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