Categoria (teoria das categorias)

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A teoria das categorias é um estudo matemático abstrato de estruturas matemáticas e as relações existentes entre elas. Categoria é uma estrutura formada por objetos e morfismos que é estudada em Teoria das categorias.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma categoria consiste nos seguintes elementos:

  • Uma classe de objetos
  • Para cada par de objetos , uma classe de morfismos (ou setas) de para , denotados por (e neste caso se diz que é o objeto origem e é o objeto destino da seta);
  • Uma operação chamada identidade, , que associa a cada objeto um morfismo que tem origem e destino em ;
  • Uma operação de composição que associa a cada par de morfismos e um morfismo chamado morfismo composto de e , tais que os seguintes axiomas são satisfeitos:
    • (associatividade) Sejam , e . Então ;
    • (identidade) O morfismo identidade ida satisfaz, para todos morfismos e , Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f\circ id_a=f} e .

Exemplos de categorias[editar | editar código-fonte]

  • A categoria dos conjuntos, denotada por Set ou Ens. Tem por objetos conjuntos e por morfismos as funções entre conjuntos. A composição de morfismos é dada pela composição usual de funções.
  • A categoria dos Grupos. Tem por objetos grupos e por morfismos os homomorfismos de grupos. A composição é dada pela composição de funções; a composição de homomorfismos de grupo é ainda um homomorfismo de grupo.
  • A categoria dos espaços topológicos. Os objetos são os espaços topológicos; os morfismos são as aplicações contínuas. A composição é a usual.
  • A categoria dos espaços vetoriais. Os objetos são os espaços vetoriais; os morfismos são as transformações lineares.
  • Um grafo orientado define uma categoria, tendo por objetos os nós ou vértices do grafo e por morfismos os caminhos ao longo do grafo. A composição de morfismos é definida pela concatenação de caminhos. Assim, existe um morfismo entre dois nós se existir um caminho, no grafo, que ligue os dois nós.
  • Um conjunto parcialmente ordenado define uma categoria, tendo por objetos os elementos do conjunto . Um único morfismo entre dois elementos e é definido se . A lei de composição decorre da transitividade da relação de ordem.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
  • Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.


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