Pré-ordem

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, mais especificamente em teoria da ordem, uma pré-ordem é uma relação binária reflexiva e transitiva. Toda ordem parcial ou relação de equivalência é também uma pré-ordem.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A (ou seja, R subconjunto de AxA). Então, R é uma pré-ordem sobre A se, e somente se, R é reflexiva e transitiva. Isto é:

 \forall a \in A \ ( aRa) (propriedade reflexiva)

 \forall (a, b) \in A \times A (aRb \  \and bRc \ \ \Rightarrow aRc) (propriedade transitiva)

Muitas vezes é usada a notação de par-ordenado. Neste caso, escreveríamos:  (A, R) é uma pré-ordem.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Todo espaço topológico finito gera uma pré-ordem nos seus pontos, na qual xy se, e somente se, x pertence a toda vizinhança de y.
  • Sobre os arcos de um grafo orientado, a relação ser acessível por é uma pré-ordem. Se o digrafo é acíclico, essa relação vira uma ordem.
  • Em um anel comutativo, a relação divide é uma pré-ordem.
  • Seja M um monóide. Definimos a relação \le em M como
x \le y \iff \big(\exists z \in M\big)\big(xz=y\big).
Assim,  (M, \le) é uma pré-ordem.
  • A relação definida por x \le y \iff \exist f:x \rightarrow y, injetora.
  • Dada uma relação de pré-ordem  (X,\lesssim) , então,  \forall \  Y \subset X \ (Y, \lesssim) também é uma pré-ordem.
  • Uma categoria com no máximo um morfismo de algum objeto x para algum outro onjeto y é uma pré-ordem. Neste sentido, categorias "generalizam" pré-ordens aceitando mais do que uma relação entre objetos: cada morfismo é uma relação de pré-ordem diferente.
  • Considere o conjunto {}^{\mathbb N}{\mathbb N} de todas as funções do conjunto dos números naturais {\mathbb N} em {\mathbb N}. Definimos a relação \leqslant^* para {}^{\mathbb N}{\mathbb N} como
f\leqslant^* g \iff \big( \exists N\in {\mathbb N}\big)\big(\forall n\geqslant N\big)(f(n)\leqslant g(n)\big)
(considerando \leqslant como a ordem natual de {\mathbb N}).
Então ({}^{\mathbb N}{\mathbb N}, \leqslant^*) é uma pré-ordem.

Usos[editar | editar código-fonte]

Esquema de temas relacionados[editar | editar código-fonte]

Teoria da ordem
Bem ordenado
Ordem total
Parcialmente ordenado
Pré-ordenado
Relação reflexiva
Relação transitiva
Relação anti-simétrica
Relação total
Relação bem-fundada

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Schröder, Bernd S. W. (2002), Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4128-9