Conjunto parcialmente ordenado

O diagrama de Hasse do conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto de três elementos $\{x,y,z\},$ ordenados por inclusão . Conjuntos conectados por um caminho ascendente, como $\emptyset$ e $\{x,y\}$, são comparáveis, enquanto, por exemplo, $\{x\}$ e $\{y\}$ não são.

Na matemática, especialmente na Teoria da ordem, um conjunto parcialmente ordenado (ou conjunto PO) é uma estrutura matemática que permite a análise da relação de precedência de elementos em um conjunto. Diferentemente de uma relação de ordem total, nem todos os elementos precisam ser comparáveis.

Formalmente, um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto estruturado com uma relação binária reflexiva, antissimétrica e transitiva nos elementos que podem ser comparados.

Essa estrutura é comumente representada pelo par $(P,\leq )$, onde $P$ é um conjunto e $\leq$ é a relação de ordem definida sobre este. Denotamos por $a\leq b$ quando um elemento precede outro.

Definição

Um conjunto parcialmente ordenado, é um par $(P,\leq )$ onde $P$ é um conjunto e $\leq$ é uma relação binária que satisfaz as seguintes propriedades:

Reflexividade: $a\leq a$. Todo elemento precede ele mesmo.

Antissimetria: $a\leq b\land b\leq a\implies a=b$. Se dois elementos precedem um ao outro, então eles são iguais.

Transitividade:$a\leq b\land b\leq c\implies a\leq c$.

Essas propriedades definem uma relação de precedência parcial entre os elementos de $P$.

Exemplos

• Os números reais com a ordenação usual (essa relação também é total).
• Os subconjuntos do conjunto das partes ordenado pela inclusão.
• Os números naturais ordenados por divisibilidade.

Ver também

• Relação de ordem
• Reticulado (matemática)
• Diagrama de Hasse