Teoria de conjuntos de Zermelo

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Em matemática, a Teoria de conjuntos de Zermelo, abreviada Z, é a apresentação axiomática da Teoria de conjuntos publicada pela primeira vez por Ernst Zermelo em 1908 no seu artigo Pesquisas sobre os fundamentos da teoria de conjuntos. I 1 e que formou a base da Teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, a teoria axiomática de conjuntos mais utilizada hoje, que resulta de acrescentar à Teoria de Zermelo os axiomas de substituição e fundação.

Axiomas da teoria de Zermelo[editar | editar código-fonte]

Axioma de extensão[editar | editar código-fonte]

Dois conjuntos são iguais (são o mesmo conjunto) se eles têm os mesmos elementos. Na linguagem da lógica atual:

\forall x \forall y [ \forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in
y) \Rightarrow x = y].

Axioma do conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Existe um conjunto, o conjunto vazio ∅, que não contém nenhum elemento:

\exists x \forall y \;( y \not \in x )

Axioma do conjunto conjunto unitário e do par[editar | editar código-fonte]

Para cada conjunto x existe o conjunto unitário \{
x \}. Para cada conjunto x e para cada conjunto y existe o par (não ordenado) \{ x, y \}.

\forall x \exists z  ( z = \{ x \} )
\forall x \forall y \exists z ( z = \{ x, y \} )

Na sua publicação de 1908, Zermelo enuncia o Axioma II com o nome "Axioma dos conjuntos elementares"2 . Esse axioma tem três partes, que correspondem ao conjunto vazio, conjunto unitário e conjunto de pares. Se interpretamos "dois objetos" do enunciado original de Zermelo do axioma de pares, como dois objetos diferentes, ficaria:

\forall x \forall y \left( x \ne y \Rightarrow \exists z \left( z = \{ x, y \} \right) \right)

Apesar desse último não ser logicamente equivalente (em primeira ordem) à forma usual anterior, os outros axiomas permitem afirmar a existência de  \{ x \} e de  \{ y \} usando  \{ x, y \} .

Axioma da separação[editar | editar código-fonte]

Se a propriedade P(z) está definida para todos os elementos de um conjunto x, então existe um subconjunto y de x que contém os elementos de x que satisfazem a propriedade P. Em termos atuais, dada uma fórmula \phi(s_0,\dots,s_n,z) de primeira ordem da linguagem de ZF com a variável livre z e os parâmetros s_0,\dots,s_n:

\forall x \exists y \forall z \;( z \in y \Leftrightarrow  z
\in x \wedge \phi(s_0,\dots,s_n,z) )

Axioma do conjunto potência[editar | editar código-fonte]

Para todo conjunto x existe um conjunto y que tem como elementos todos os subconjuntos de x.

\forall x \exists y  \forall z (z \subseteq x \rightarrow z
\in y)

Um tal y é denominado "conjunto potência de x" ou "conjunto das partes de x", usualmente denotado:

 y = \mathcal{P}(x)

Axioma da união[editar | editar código-fonte]

Para todo conjunto x existe um conjunto y tal que todo elemento z que pertence a um elemento de x é um elemento de y.

\forall x \,\exists y \, \forall z\, \forall h (h \in x \land
z \in h \Rightarrow z \in y)

Esse y cuja existência é afirmada pelo axioma é denominado "união de x":

 y = \bigcup(x)

Ou "união dos elementos de x":

 y = \bigcup_{h \in x}(h)

Axioma do infinito[editar | editar código-fonte]

Existe um conjunto y que contém o conjunto vazio \varnothing, e para cada x \in y, o conjunto \{x\} também pertence a y. Note que Zermelo usa \{x\} como o sucessor de x na sequência numérica (Zahlenreihe):

0, \{0\}, \{\{0\}\}, \{\{\{0\}\}\}, \dots

A definição habitual, que provém de von Neumann, estabelece sucessor de maneira diferente como x \cup \{ x \} .

O axioma do infinito tal como ele é enunciado por Zermelo, poderia ser interpretado modernamente como:

 \exists y \left( ( \varnothing \in y ) \wedge \forall x ( x \in y
\Rightarrow \{ x \} \in y ) \right)

Axioma da escolha[editar | editar código-fonte]

Se x é um conjunto de conjuntos não vazios e disjuntos dois a dois, então existe um conjunto de escolha e contido na união de x, tal que para cada elemento y de x, e tem um único elemento em comum com y. A ideia intuitiva é que o conjunto e "escolhe" um elemento de cada y em x:

 \forall x \left( \forall  y_0, y_1 \in x ( y_0 \cap y_1 = \varnothing )
\Rightarrow
\exists e \forall y \in x \; \exist z \left( e \cap y = \{ z \} \right)
\right)

Contribuição de Zermelo[editar | editar código-fonte]

  • Axioma de extensão. Foi idealizado por Bolzano3 , mas como esse trabalho só foi publicado em 1975, possivelmente era desconhecido por Zermelo. Entretanto, Zermelo possivelmente conhecia o trabalho de Dedekind4 publicado em 1888, que contém um enunciado desse axioma5 .
  • Axioma da separação. É original de Zermelo6 . Skolem propõe, por volta de 1920, que no lugar da "propriedade definida" que aparece na formulação de Zermelo, seja usada uma fórmula da linguagem (de primeira ordem)7 .
  • Axioma do conjunto vazio. Zermelo utiliza a palavra "impróprio" (uneigentliche) para se referir ao conjunto vazio, pois não está claro se se ajusta à definição de Cantor de conjunto8 . Não usado por Cantor nem por Dedekind, possivelmente seja uma definição original de Zermelo.
  • Axiomas do conjunto unitário, do par, da união e da potência. Cantor usa esses procedimentos de maneira não formalizada.
  • Axioma do infinito. Cantor não dá uma definição formal dos números naturais, mas assume a existência do conjunto deles. Dessa maneira assume a existência de conjuntos infinitos. Além disso, Cantor afirma:
Que as multiplicidades "enumeráveis" são conjuntos acabados, parece-me um enunciado axiomático seguro.9
Na apresentação de Dedekind de 1888 do Princípio de indução matemática10 , ele concebe o conjunto dos números naturais como contendo e o sucessor de cada elemento desse conjunto. Entretanto, Dedekind define "infinito" de uma maneira diferente, hoje conhecida como infinito de Dedekind11 .
  • Axioma da escolha. Introduzido pelo próprio Zermelo em 190412 para demonstrar que todo conjunto pode ser bem ordenado.

Independência e consistência relativa dos axiomas[editar | editar código-fonte]

O Axioma do conjunto vazio pode ser demonstrado a partir dos outros axiomas, basta usar o Axioma de separação com a fórmula  z  z que não é satisfeita por nenhum elemento.

Se o Axioma dos pares não pedir explicitamente que  a
 b para a existência do par  \{ a, b \} , então a existência do conjunto unitário segue-se da existência de  \{ a, a \} = \{ a \} . A independência do Axioma de pares (se os outros axiomas são consistentes) foi demonstrada por Boffa13 , resultado interessante, pois esse axioma não é independente em Zermelo-Frankel.

Fraenkel introduziu o método dos modelos de permutação para demonstrar a independência relativa do Axioma da Escolha14 .

A independência do Axioma de infinito é demonstrada de maneira similar a ZF, V_\omega é um modelo da teoria de Zermelo sem o Axioma de infinito.

Os axiomas de união e partes são independentes, igual que em ZF. Diferentemente de ZF o axioma da união e consistente relativo aos demais axiomas, se eles foram consistentes. Assim, o axioma da união é uma extensão forte em ZF, mas uma extensão fraca na teoria de Zermelo. O Axioma de pares também é consistente relativo15 .

Referências

  1. Zermelo 1908
  2. (Axiom der Elementarmengen, Zermelo 2010, p. 192.
  3. Bolzano 1975
  4. Dedekind 1932, p. 345
  5. Ver o comentário de Felgner em Zermelo 2010, p. 176.
  6. Ver o comentário de Felgner em Zermelo 2010, pp. 179−181.
  7. Ver van Heijenoort 1967, p. 285.
  8. Ver o comentário de Felgner em Zermelo 2010, p. 176.
  9. "Daß die 'abzählbaren' Vielheiten fertige Mengen sind, scheint mir ein axiomatisch sicherer Satz zu sein.", Zermelo 2010, p. 175. Felgner considera esse enunciado um axioma de infinito (Ibid.).
  10. Dedekind 1932, p. 361
  11. Dedekind 1932, p. 356
  12. Zermelo 1904
  13. Boffa 1872
  14. Ver van Heijenoort 1967, pp. 284−289.
  15. Ver González 1991 para esses resultados.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Maurice Boffa. (1972). "L'axiome de la paire dans le système de Zermelo" (em francês). Archive for Mathematical Logic 15 (3−4): 97−98.
  • Bernard Bolzano. Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre (em alemão). Stuttgart: Frommann-Holzboog, 1975. vol. II A 7.
  • Richard Dedekind. Gesammelte mathematische Werke (em alemão). Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932. Capítulo: Was sind und was sollen die Zahlen?. , p. 335−391. vol. III.
  • Jean van Heijenoort. From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (em inglês). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967.
  • Ernst Zermelo. (1904). "Beweisß, da jede Menge wohlgeordnet werden kann" (em alemão). Mathematische Annalen 59 (4): 514−516. Reimpresso com tradução ao inglês em Zermelo 2010, pp. 114−119, e tradução ao inglês em van Heijenoort 1967, pp. 139−141.
  • Ernst Zermelo. (1908). "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I" (em alemão). Mathematische Annalen 65 (2): 261−281. Reimpresso com tradução ao inglês em Zermelo 2010, pp. 188−229, e tradução ao inglês em van Heijenoort 1967, pp. 199−215.
  • Ernst Zermelo. Collected Works — Gesammelte Werke (em alemão e inglês). Heidelberg: Springer, 2010. vol. I. ISBN 978-3-540-79383-0