Universo de von Neumann

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Na matemática, particularmente na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o universo de von Neumann, hierarquia de von Neumann dos conjuntos, ou hierarquia cumulativa, abreviado V, é uma classe definida por recursão transfinita: a classe dos conjuntos hereditariamente bem fundados. V é o modelo mais aceito da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, pelo qual pode ser entendido intuitivamente como a classe de todos os conjuntos.

Definição de V[editar | editar código-fonte]

V é definida por recursão transfinita.

 V_0 := \emptyset \! .
 V_{\alpha+1} := \mathcal{P}(V_{\alpha}) \!
 V_\beta := \bigcup_{\alpha < \beta} V_{\alpha} \! .

É importante ressaltar que existe uma fórmula \phi(x,\alpha) da linguagem da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que representa "x \in V_\alpha".


Uma definição alternativa às três últimas, está dada pela fórmula:

 V_\beta := \bigcup_{\alpha < \beta} \mathcal{P}\left(V_{\alpha}\right) \! .


  • Finalmente, sendo V a união de todos os Vα:
 \bold \mathsf V := \bigcup_{\alpha \in \bold On} V_{\alpha} \! .


O uso do símbolo de união na última linha constitui um abuso da linguagem, de modo que  x \in \bold \mathsf V deve ser interpretado como "existe um ordinal \alpha tal que  x \in  V_\alpha ".

Note-se que para cada ordinal α, Vα é um conjunto; porém V não é um conjunto.

A denominação hierarquia cumulativa é usada pois V está definida sobre os ordinais, de modo que:

 \mbox{Se } \alpha < \beta \mbox{ então } V_{\alpha} \in V_{\beta} \mbox{  e  }  V_{\alpha} \subseteq V_{\beta} \!

V e Zermelo-Fraenkel[editar | editar código-fonte]

Na presença dos demais axiomas de ZF, o enunciado \forall x \left(x \in \bold\mathsf V \right) é equivalente ao Axioma da Fundação. Dessa maneira, conjuntos mal fundados, como  x=\left\{ x \right\} . não pertencem a V e sua não existência pode ser provada em ZF. Além disso, todos os elementos de V são conjuntos, de modo que os denominados átomos, elementos primitivos ou Urelemente (elementos que não são conjuntos) não pertencem a V.
Se omitirmos o Axioma da Fundação de ZF, denominada ZF, então V é um modelo interno. Como para a construção de V não é necessário o Axioma da Fundação, dessa maneira é demonstrada a consistência relativa do Axioma da Fundação com relação aos demais axiomas de ZF, se eles são consistentes. Ainda podemos acrescentar a ZF axiomas contraditórios com o Axioma da Fundação, p.ex. o Axioma de anti-fundação de Aczel, mas então V não é mais um modelo dessa teoria.

Sendo \omega o conjunto dos números naturais e primeiro ordinal transfinito, V_\omega é a classe dos conjuntos hereditariamente finitos. V_\omega é um modelo de ZF menos o Axioma do infinito. Em V_\omega temos todos os números naturais, mas não \omega. Os conjuntos em V_{\omega+\omega} são suficientes para fazer a maior parte da teoria de números, análise matemática, etc., ou seja a "matemática habitual". V_{\omega+\omega} é um modelo da Teoria de conjuntos de Zermelo, denominada Z mas como a definição de V_{\omega+\omega} precisa do Axioma da substituição, esse método não pode ser usado para definir um modelo interno de Z. Se  \kappa é um cardinal inacessível, então V_\kappa é um modelo de ZF e, portanto, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser provada em ZF, se ZF é consistente.

Ver também[editar | editar código-fonte]

O universo construível de Gödel

O Axioma da Fundação