Universo de von Neumann

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Na matemática, particularmente na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o universo de von Neumann, hierarquia de von Neumann dos conjuntos, ou hierarquia cumulativa, abreviado V, é uma classe definida por recursão transfinita: a classe dos conjuntos hereditariamente bem fundados. V é o modelo mais aceito da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, pelo qual pode ser entendido intuitivamente como a classe de todos os conjuntos.

Definição de V[editar | editar código-fonte]

V é definida por recursão transfinita.

.
  • Para um ordinal α, sendo Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mathcal{P}(x) } o conjunto das partes de Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): x :
Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle V_{\alpha+1} := \mathcal{P}(V_{\alpha}) \! }
.

É importante ressaltar que existe uma fórmula da linguagem da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que representa "Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle x \in V_\alpha} ".


Uma definição alternativa às três últimas, está dada pela fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle V_\beta := \bigcup_{\alpha < \beta} \mathcal{P}\left(V_{\alpha}\right) \! } .


  • Finalmente, sendo V a união de todos os Vα:
Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \bold \mathsf V := \bigcup_{\alpha \in \bold On} V_{\alpha} \! } .


O uso do símbolo de união na última linha constitui um abuso da linguagem, de modo que Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle x \in \bold \mathsf V } deve ser interpretado como "existe um ordinal Falhou ao verificar gramática (Erro de conversão. O servidor ("https://pt.wikipedia.org/api/rest_") relatou: "Cannot get mml. Server problem."): \alpha tal que ".

Note-se que para cada ordinal α, Vα é um conjunto; porém V não é um conjunto.

A denominação hierarquia cumulativa é usada pois V está definida sobre os ordinais, de modo que:

Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mbox{Se } \alpha < \beta \mbox{ então } V_{\alpha} \in V_{\beta} \mbox{ e } V_{\alpha} \subseteq V_{\beta} \! }

V e Zermelo-Fraenkel[editar | editar código-fonte]

Na presença dos demais axiomas de ZF, o enunciado Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \forall x \left(x \in \bold\mathsf V \right)} é equivalente ao Axioma da Fundação. Dessa maneira, conjuntos mal fundados, como Falhou ao verificar gramática (Erro de conversão. O servidor ("https://pt.wikipedia.org/api/rest_") relatou: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x=\left\{x\right\}} . não pertencem a V e sua não existência pode ser provada em ZF. Além disso, todos os elementos de V são conjuntos, de modo que os denominados átomos, elementos primitivos ou Urelemente (elementos que não são conjuntos) não pertencem a V.
Se omitirmos o Axioma da Fundação de ZF, denominada ZF, então V é um modelo interno. Como para a construção de V não é necessário o Axioma da Fundação, dessa maneira é demonstrada a consistência relativa do Axioma da Fundação com relação aos demais axiomas de ZF, se eles são consistentes. Ainda podemos acrescentar a ZF axiomas contraditórios com o Axioma da Fundação, p.ex. o Axioma de anti-fundação de Aczel, mas então V não é mais um modelo dessa teoria.

Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \omega o conjunto dos números naturais e primeiro ordinal transfinito, Falhou ao verificar gramática (Erro de conversão. O servidor ("https://pt.wikipedia.org/api/rest_") relatou: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle V_{\omega }} é a classe dos conjuntos hereditariamente finitos. Falhou ao verificar gramática (Erro de conversão. O servidor ("https://pt.wikipedia.org/api/rest_") relatou: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle V_{\omega }} é um modelo de ZF menos o Axioma do infinito. Em Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle V_\omega} temos todos os números naturais, mas não Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \omega . Os conjuntos em Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle V_{\omega+\omega}} são suficientes para fazer a maior parte da teoria de números, análise matemática, etc., ou seja a "matemática habitual". Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle V_{\omega+\omega}} é um modelo da Teoria de conjuntos de Zermelo, denominada Z mas como a definição de precisa do Axioma da substituição, esse método não pode ser usado para definir um modelo interno de Z. Se é um cardinal inacessível, então Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle V_\kappa } é um modelo de ZF e, portanto, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser provada em ZF, se ZF é consistente.

Ver também[editar | editar código-fonte]

O universo construível de Gödel

O Axioma da Fundação