Universo construível

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Em matemática, o Universo construtível (ou Universo construtível de Gödel ou Hierarquia construtível), denotado por L, é uma classe de conjuntos definida por recursão transfinita. na qual, a diferença do Universo de von Neumann, o sucessor de uma classe não toma todos os subconjuntos, mas somente aquelas que são definíveis, num sentido específico desse termo[1].

Definição de L[editar | editar código-fonte]

L é definido numa hierarquia de níveis que são função dos ordinais, de maneira análoga ao Universo de von Neumann. A única diferença é que no passo sucessor, em lugar de tomar todos os subconjuntos, toma somente os "definíveis". Mas especificamente, dado um conjunto x e um subconjunto y de x, yx, diz-se que y é x-definível, denotado por Def(x), se e somente se existe uma fórmula de primeira ordem φ satisfeita por todos e somente por os elementos de y em x (considerado como universo da interpretação)[2]. Dessa maneira, Def(x)P(x).

  • O primeiro nível é o conjunto vazio:
.
.
  • Finalmente, sendo L a união de todos os Lα:
.


O uso do símbolo de união na última linha constitui, como na definição de , um abuso da linguagem, de modo que deve ser interpretado como "existe um ordinal tal que ".

O Axioma de construtibilidade[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Axioma de construtibilidade

O enunciado "todo conjunto é construível", abreviado é verdadeiro no Universo Construível. Esse axioma, somado aos habituas de Zermelo-Fraenkel, implica o Axioma da escolha, hipótese do continuo generalizada, a negação da hipótese de Suslin e a existência de um conjunto de números reais não mensurável.

Referências

  1. Ver Devlin, Keith J. (1984). Constructibility (Berlin: Springer). pp. 57−58. 
  2. Devlin, op. cit., p. 57.