Os teoremas do matemático De Morgan são propostas de simplificação de expressões em álgebra booleana de grande contribuição. Definem regras usadas para converter operações lógicas OU em E e vice versa.
Sendo
e as operações em
sendo
e
assim definidas:
Operação lógica |
Símbolo |
Exemplos
|
OU |
+ |



|
E |
 |



|
Não |
 |

|
Considere X e Y como variáveis booleanas ou proposições cuja resposta seja {Sim, Não} ou {Verdadeiro, Falso} ou ainda {0,1}.
Seguem as leis de De Morgan conforme algumas notações possíveis:





- O complemento, ou negação de um produto (AND) de variáveis é igual a soma(OR) dos complementos das variáveis.[1]
- O complemento, ou negação de uma soma (OR) de variáveis é igual ao produto (AND) dos complementos das variáveis.[1]
A figura 1.1 mostra o circuito que representa o 1. Teorema e a tabela abaixo representa sua respectiva tabela verdade.
1.1 Teorema
X |
Y |
 |
|
0 |
0 |
1 |
1
|
0 |
1 |
1 |
1
|
1 |
0 |
1 |
1
|
1 |
1 |
0 |
0
|
A figura 1.2 mostra o circuito que representa o 1. Teorema e a tabela abaixo representa sua respectiva tabela verdade.
1.2 Teorema
X |
Y |
 |
|
0 |
0 |
1 |
1
|
0 |
1 |
0 |
0
|
1 |
0 |
0 |
0
|
1 |
1 |
0 |
0
|
Observada a equivalência na saída das tabelas, isto prova o mesmo comportamento lógico.
Considere a seguinte expressão:[2]
Aplicando os teoremas de De Morgan:
- Não (X E Y) = Não (X) Ou Não (Y)
- Não (X Ou Y) = Não (X) E Não (Y)
A ideia é que ao "aplicar" a barra (operador Não) sobre uma outra operação, esta muda seu sinal, restando uma barra para cada membro da operação. Exemplos:
No caso geral, dado X um conjunto qualquer, temos [3]:
Se de fato
então:


a)
primeiro usamos a propriedade distributiva do operador
depois a propriedade comutativo (passo não mostrado), então vemos a soma de elementos complementares
b)
Primeiro usamos a propriedade distributiva do operador
depois usamos a propriedade de comutatividade (esse passo não foi mostrado), então usamos a propriedade de elementos complementares
Os teoremas de De Morgan são usados para provar que toda lógica booleana pode ser criada somente com portas lógicas NAND ou NOR.
Referências
- ↑ a b FLOYD, Thomas L.; Sistemas digitais: Fundamentos e aplicação, 9ª ed, página 250, Bookman, 2007, Porto Alegre
- ↑ TOCCI, Ronald; Sistemas digitais: princípios e aplicações, Ronald J. Tocci, Neal S. Widmer, Gregory L. Moss, página 65, Pearson Education, São Paulo-SP, 2007.
- ↑ MUJICA, Jorge; Notas de Topologia Geral