Teorema de Cantor

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Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Cantor, em referência ao matemático alemão Georg Cantor possui fundamental importância.

Sua particularização na reta real recebe o nome de teorema dos intervalos encaixantes.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja uma seqüência de conjuntos fechados limitados não-vazios encaixados, ou seja, . Assuma, ainda, que , ou seja, que o diâmetro dos conjuntos esteja convergindo para zero. O diâmetro é definido como:

Então a intersecção é não vazia. Mais ainda, esta intersecção é formada por apenas um ponto.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como cada é não-vazio, podemos escolher um ponto pertencente a ele:

Como , temos que toda a seqüência está contida em .

Mas é uma Sucessão de Cauchy, pois:

, pois .

Dado que toda Sucessão de Cauchy é convergente num espaço métrico completo, existe um ponto limite tal que:

Como os conjuntos são fechados e o limite de uma seqüência é invariante por cortes finitos, temos:

Assim .

Para provar que é, de fato, o único elemento pertencente à intersecção, considere, por absurdo que existam mais de um ponto nela, ou seja:

, com

O fato que implica

Escolha tal que:

Da definição de diâmetro e do fato que , deve valer:

, um absurdo.

Aplicações[editar | editar código-fonte]