Subconjunto

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Diagrama de Euler ilustrando o fato de que A é subconjunto de B ou, equivalentemente, que B é superconjunto A

Em teoria dos conjuntos, quando todo elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B dizemos que A é um subconjunto ou uma parte de B; e denotamos A \subseteq B (lê-se: A está contido em B; ou A é subconjunto de B; ou A é uma parte de B) ou ainda B \supseteq A (lê-se: B contém A; ou B é superconjunto de A; ou B tem A como parte)[1] . Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica,

A \subseteq B \stackrel {\mathbf {def}} {=\!=}  \forall x(x \in A \rightarrow x \in B).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja, A\subseteq A qualquer que seja o conjunto A.
    Realmente, a condicional p \rightarrow p é uma tautologia. Assim, x\in A \rightarrow x \in A tanto se x\in A como também se x\not\in A. E, por definição, \forall x(x\in A \rightarrow x\in A) \Rightarrow  A\subseteq A.
  • A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se A \subseteq B e B\subseteq C, então A\subseteq C.
    Se A = \varnothing, A \subseteq C (e assumir que B \subseteq C é irrelevante). Então, assuma que A \neq \varnothing e seja x \in A. Por hipótese, A \subseteq B e, pela definição de inclusão, x \in B. Assim, B \neq \varnothing. Também por hipótese B \subseteq C, isto é, se y \in B também y \in C. Em particular, para y = x temos x \in C. Como x \in A era arbitrário, todo elemento de A é também elemento de C, ou seja, A \subseteq C.
  • A inclusão de conjuntos é uma relação anti-simétrica, ou seja, se A \subseteq B e B \subseteq A, então A = B.
    De fato, isto é o que diz o axioma da extensão.
  • Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio A e uma coleção \mathcal{C} de subconjuntos de A, a relação de inclusão \subseteq é uma relação de ordem parcial em \mathcal{C}.
    A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X, \preceq) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal n é identificado com o conjunto [n] de todos os ordinais menores ou igual a n, então a \leq b se e somente se [a] \subseteq [b].

Subconjunto próprio[editar | editar código-fonte]

Dizemos que um conjunto B é um subconjunto próprio de um conjunto A se B \subseteq A (B é subconjunto de A) e B \neq A (B é diferente de A). Explicitamos este fato com a notação especial B \subsetneq A; ou ainda A\supsetneq B (lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que B está estritamente contido em A, ou seja, existe pelo menos um x \in A tal que x \not\in B. Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente, A é o único subconjunto de um conjunto A\neq\varnothing que não é próprio. Assim, dizemos que A é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de A.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado.
  • O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
  • O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}.
  • O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
  • O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Uma notação alternativa para A é subconjunto de B, tão comum quanto A \subseteq B, é A \subset B. Similarmente, usa-se também B \supset A para denotar que B é superconjunto de A.

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]