Subconjunto

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Diagrama de Euler ilustrando o fato de que é subconjunto de ou, equivalentemente, que é superconjunto de

Em teoria dos conjuntos, quando todo elemento de um conjunto é também elemento de um conjunto dizemos que é um subconjunto ou uma parte de ; e denotamos (lê-se: está contido em ; ou é subconjunto de ; ou é uma parte de ) ou ainda (lê-se: contém ; ou é superconjunto de ; ou tem como parte)[1]. Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja, qualquer que seja o conjunto .
    Realmente, a condicional é uma tautologia. Assim, tanto se como também se . E, por definição, .
  • A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se e , então .
    Se , (e assumir que é irrelevante). Então, assuma que e seja . Por hipótese, e, pela definição de inclusão, . Assim, . Também por hipótese , isto é, se também . Em particular, para temos . Como era arbitrário, todo elemento de é também elemento de , ou seja, .
  • A inclusão de conjuntos é uma relação anti-simétrica, ou seja, se e , então .
    De fato, isto é o que diz o axioma da extensão.
  • Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio e uma coleção de subconjuntos de , a relação de inclusão é uma relação de ordem parcial em .
    A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X, ) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal é identificado com o conjunto de todos os ordinais menores ou igual a , então se e somente se .

Subconjunto próprio[editar | editar código-fonte]

Dizemos que um conjunto é um subconjunto próprio de um conjunto se ( é subconjunto de ) e ( é diferente de ). Explicitamos este fato com a notação especial ; ou ainda (lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que está estritamente contido em , ou seja, existe pelo menos um tal que . Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente, é o único subconjunto de um conjunto que não é próprio. Assim, dizemos que é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado.
  • O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
  • O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}.
  • O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
  • O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Uma notação alternativa para é subconjunto de , tão comum quanto , é . Similarmente, usa-se também para denotar que é superconjunto de .

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]