Conjunto transitivo

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Na teoria dos conjuntos, um conjunto A é transitivo se, e somente se,

  • sempre que xe yx, yA, ou, equivalentemente,
  • sempre que xe x não é um urelemento, então x é um subconjunto de A.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Usando a definição de números ordinais sugerida por John von Neumann, números ordinais são definidos como conjuntos transitivos hereditários: um número ordinal é um conjunto transitivo cujos membros também são transitivos (e, portanto, ordinais).

Qualquer dos estágios Vα e Lα, levando à construção do universo de von Neumann V e do Universo construtível de Gödel L, são conjuntos transitivos. Os próprios universos L e V são classes transitivas.

This is a complete list of all finite transitive sets with up to 20 brackets:[1]


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Um conjunto X é transitivo se, e somente se, , onde é a união de todos os elementos de X que são conjuntos, . Se X é transitivo, então é transitivo. Se X e Y são transitivos, então XY∪{X,Y} é transitivo. Em geral, se X é uma classe cujos elementos são conjuntos transitivos, segue que é transitivo.

Um conjunto X que não contém urelementos é transitivo se e somente se for um subconjunto de seu conjunto das partes, O conjunto das partes de um conjunto transitivo sem urelementos é transitório.

Fecho transitivo[editar | editar código-fonte]

O fecho transitivo de um conjunto X é o menor (com respeito à inclusão) conjunto transitivo que contém X. Suponha que é dado um conjunto X, então o fecho transitivo de X é

Note que este é o conjunto de todos os objetos relacionados com X pelo fecho transitivo da relação de pertinência.

ModeloTransitivo da teoria dos conjuntos[editar | editar código-fonte]

Classes Transitivas são frequentemente utilizadas para a construção de interpretações da teoria dos conjuntos em si, normalmente chamados de modelos interiores. A razão é que as propriedades definidas pelas fórmulas delimitada são absolutas para classes transitivas

Um conjunto transitivo (ou classe) que é um modelo de um sistema formal da teoria dos conjuntos é chamado um modelo transitivo do sistema. A transitividade é um importante fator na determinação da absolutividade de fórmulas.

Na abordagem da superestrutura à análise não-padrão, os universos não-padrão satisfazem a transitividade forte.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referencias[editar | editar código-fonte]

Endereços externos[editar | editar código-fonte]