Número primo

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Número primo, é um número cujo conjunto dos divisores não inversíveis não é vazio, e todos os seus elementos são produtos de por números inteiros inversíveis. De acordo com esta definição, e não são números primos.

Um número inteiro primo é aquele que tem somente quatro divisores distintos, e Já um número natural primo tem unicamente dois divisores naturais distintos: o número um e ele mesmo[1].

Uma das questões pesquisadas sobre os números primos é de como eles se distribuem nos naturais, com que frequência isso ocorre e qual a distância que existe entre eles. Por exemplo, existem vários pares de números primos que se diferem em duas unidades: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109). Pares de números primos com essa propriedades são denominados de primos gêmeos. Não se sabe ainda se existem infinitos pares de números primos gêmeos.[2]

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo, se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto ( e também não são compostos). Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..[3]O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatorização).

Existem 168 números primos positivos menores do que 1000[4]. São eles:

Exemplos de decomposições:

(A última parte desta sessão tem como fonte o livro RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.)

Para todo primo p seja p# o produto de todos os números primos q inferiores ou iguais a p. De acor[5]do com a terminologia empregada por Dubner (1987), p# é chamado o primorial de p. Temos dois problemas em aberto sobre a noção de primorial:[6]

a) Existe uma infinidade de números primos p tais que p# + 1 seja primo? b) Existe uma infinidade de números primos p tais que p# + 1 seja composto?

O que se sabe:

  • O maior número primo conhecido da forma p# + 1 é 392113# + 1, com 169966 algarismos, foi descoberto por D. Heuer et al. Em 2001.
  • A lista completa dos números primos p < 632700 tais que p# + 1 seja primo é a seguinte: P = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439 e 392113.
  • Caldwell e Gallot publicaram em 2002 a lista para p < 120000. O primo 145823# + 1 foi descoberto em 2000 por A.E. Anderson, D.E. Robinson et al. O primo 366439# + 1 foi descoberto em 2001 por D. Heuer et al.
  • 15877# – 1 é o maior primo encontrado da forma p# – 1; tem 6845 algarismos e estava incluído na lista de Caldwell e Gallot de 2002.
  • A lista dos números primos p < 650000 tais que p# – 1 é primo é a seguinte: 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033 e 15877.
  • A lista para p < 120000 foi publicada em 2002 por Caldwell e Gallot, posteriormente nenhum outro primo p# – 1 foi descoberto.

Os átomos da aritmética[editar | editar código-fonte]

Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o , pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de a . Em seguida escolhia o primeiro primo, , e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Eratóstenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes. Observe a ilustração a seguir:

Assim obtemos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89. 91, 97, ... A partir desse procedimento podemos simplificar a descobertas de primos usando o lema : Se um número natural n > 1 não é divisível por nenhum primo p tal que ≤ n , então ele é primo.(demonstrado adiante). Este lema fornece um teste de primalidade, pois, para verificar se um dado número n é primo, basta verificar que não é divisível por nenhum p que não supere .

Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número era primo: calcule elevado a potência e divida-o por se o resto for então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular em um relógio com horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até mas falha para Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como

Teoremas sobre números primos[editar | editar código-fonte]

Existem vários teoremas e estudos sobre os números primos, desde resultados tratados na matemática elementar, até conjecturas que não foram provadas. Todos os teoremas desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Teorema 1: (Teorema Fundamental da Aritmética)[7] Todo número natural maior do que ou é primo ou se escreve de modo único (exceptuando a ordem dos fatores) como um produto de números primos.

Demonstração:

Tomemos a segunda forma do Princípio de Indução. Seja , sabemos que ele é primo. Suponha o resultado válido para todo número natural menor que e vamos provar que vale para . Observe que que se é primo, nada temos a provar. Sendo composto, existem números naturais e tais que com e . Por hipótese de indução, existem primos e , tais que e , logo

Provaremos agora a unicidade da escrita. Suponha que , onde os e são números primos. Como , temos que , para algum (provaremos mais adiante), que por conveniência, podemos supor que seja , logo teremos então que (já que temos ). De forma análoga, podemos afirmar que como temos que , para algum , que por conveniência, podemos supor que seja , assim teremos . Como , a hipótese de indução acarreta em que , e os elementos e são iguais.

Teorema 2:[8]

Dado um número natural , existem primos , e naturais , univocamente determinados, tais que

Demonstração:

Decorre do Teorema Fundamental da Aritmética, agrupando-se os primos repetidos e ordenando os primos em ordem crescente.

Teorema 3:[9]

Sejam . . . … . , . . .… . , e , com , tem-se que . . .… . e . . .… . .


Demonstração:

Temos que . . .… . é um divisor comum de e . Seja um divisor comum de e , logo . . .… . , onde e, portanto ...… .. Do mesmo modo, prova-se o m.m.c.( Mínimo Múltiplo Comum).

Teorema 4:[10]

Existem infinitos números primos.

Demonstração:

Suponha que exista apenas um número finito de números primos . Considere o número natural . O número possui um fator primo que, portanto, deve ser um dos , Mas isso implica que divide , o que é absurdo.

Teorema 5: (Pequeno Teorema de Fermat)[11]

Dado um número primo , tem-se que divide o número , para todo .

Demonstração:

Vamos provar pelo Princípio da Indução Infinita. O resultado vale para , já que . Supondo valido para um natural , iremos provar que é válido para o natural .

= + + ... + . O segundo membro da igualdade é divisível por (Lema 2), o resultado se segue.

Teorema 6: (Euclides-Euler)[12]

Um número natural é um número perfeito par se, e somente se, = (), onde é um primo de Mersenne.

Demonstração:

Suponha que = (), onde é um primo de Mersenne. Logo e consequentemente, é par. Como é ímpar, temos que . Pela Proposição 5, Corolário 2 e Lema 3, temos: . Portanto, n é perfeito. (Denota-se por a soma de todos os divisores de ).

Reciprocamente, suponha que é perfeito e par. Seja a maior potência de que divide . Logo, , e , com ímpar. Temos então que e, pela Proposição 5 e Corolário 2, segue-se que . Como , segue-se que .

Temos então, que , pois . Logo, existe , com tal que . Substituindo, segue-se: ; portanto, . Como e são dois divisores distintos de tais que . Nesta situação, . De fato, suponha por absurdo que . Temos então que , segue-se que , contradição. Logo, concluímos que , assim é primo. Temos então que com primo.


Teorema 7: (Legendre)[13]

Sejam n um número natural e p um número primo, Então + + + ⋯ . (Denotaremos pelo expoente de maior potência de que divide e por o quociente da divisão de a por b, na divisão euclidiana)

Demonstração:

A soma apresentada no teorema é finita, pois existe um números natural tal que para todo , portanto , se . Vamos demonstrar o resultado por indução sobre . A fórmula vale para . Suponha que vale para um natural com . Sabemos que os múltiplos de entre e são , 2p, ..., p. Portanto, + . Pela hipótese de indução temos que = + + + ... . O resultado decorre da Proposição 6.

Teorema 8:[14]

Sejam * com primo. Suponha que seja a representação p-ádica de . Então = .

Demonstração:

Sendo , temos que , , ..., . Portanto, = + + + ⋯ = = = .


Teorema 9: Teorema de Vantieghems[15][16]

Um número natural n é primo se, e somente se:
.

Exemplos:

1) Para n=7 temos o produto 1*3*7*15*31*63 = 615195.  : 615195 = 7 mod 127. 7 é primo.

2) Para n=9 temos o produto 1*3*7*15*31*63*127*255 = 19923090075. 19923090075 = 301 mod 511. 9 é composto.

Lemas sobre números primos[editar | editar código-fonte]

Todos os lemas desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Lema 1:[17]

Se um número natural não é divisível por nenhum primo tal que , então ele é primo.

Demonstração:

Suponha, por absurdo, que não seja divisível por nenhum número tal que e que não seja primo. Seja o menor número primo que divide , logo, , com , Desse modo temos , o que mostra que é divisível pelo número primo tal que , absurdo.

Lema 2: [18]

Seja um número primo. Os números , onde , são todos divisíveis por .

Demonstração:

O resultado é válido para . Suponha então, . Neste caso, . Como o , concluímos que , , e o resultado se segue, pois .

Lema 3:[19]

Seja *, Tem-se que se, e somente se, é um número primo.

Demonstração:

Se , segue-se que e que os únicos divisores de são e , logo é primo. Reciprocamente, se é primo, pela Proposição 5, segue-se que .

Corolários sobre números primos[editar | editar código-fonte]

Todos os corolários desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Corolário 1:[20]


Se é um número primo e se é um número natural não divisível por , então divide

Demonstração:

Sabendo que (Pequeno Teorema de Fermat), então e como , podemos concluir que .

Corolário 2:[21]


A função é multiplicativa, isto é, se então .

Demonstração:

Segue-se diretamente da demonstração da Proposição 5.

Proposições sobre números primos[editar | editar código-fonte]

Todos as proposições desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Proposição 1:[22]

Sejam *, com primo. Se , então ou .

Demonstração:

Se e então . Mas se , temos que .

Proposição 2:[23]

Seja . um número natural escrito decomposto em números primos. Se então , onde , para natural.

Demonstração:

Seja um divisor de e seja a potência de um primo , presente na decomposição de em um produto de seus fatores primos. Sabendo que segue que divide algum por ser primo com os demais e, consequentemente, e .

Proposição 3:[24]

Sejam e números naturais maiores do que . Se é primo, então é par e , com .

Demonstração:

Suponha que seja primo, onde e . Logo tem que ser par, pois caso contrário, seria par e maior do que dois, o que contraria o fato de ser primo. Se tivesse um divisor primo diferente de , teríamos com *. Logo, , concretizando o fato desse último número ser primo. Isto implica que é da forma .

Proposição 4:[25]

Sejam e números naturais maiores que . Se é primo, então e é primo.

Demonstração:

Suponha que seja primo, com e . Suponha por absurdo, que . Logo e e, portanto, não é primo, contradição. Consequentemente, . Por outro lado, suponha, que não é primo. Temos com e . Como divide , segue que não é primo, contradição, logo é primo.

Proposição 5:[26]

Seja onde são números primos e *. Então, .


Demonstração:

Considere a igualdade ... = , onde o somatório do primeiro membro da igualdade é tomado por todas as k-uplas () ao variar cada no intervalo , para . Como tal somatório, pela Proposição 2, representa soma de todos os divisores de , a fórmula resulta aplicando a fórmula da soma de uma progressão geométrica a cada soma do segundo membro da igualdade.

Proposição 6:[27]

Sejam e *, temos que . (Denotaremos por o quociente da divisão de por , na divisão euclidiana).

Demonstração:

Sejam e . Logo, , com e , com . Portanto, . Como , segue-se que é o quociente da divisão de por , ou seja, .


Teoria dos números[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teoria dos números

Sabe-se que, à medida que avançamos na sequência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:

O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?

SEGUNDO EUCLIDES[28]

Suponhamos que a sucessão dos números primos seja finita. Tomemos e seja p um número primo que divide . O número não pode ser igual a nenhum dos números porque então mele dividiria a diferença , o que é impossível, Assim é um número primo que não pertence à sucessão e, por consequência, não pode formar o conjunto de todos os números primos.

SEGUNDO KUMMER (uma variante da demonstração de Euclides)[29]

Suponha que exista um número finito de úmeros primos ; seja . O inteiro , sendo o produto de fatores primos, teria então um fator primo , que dividiria também ; então, dividiria , o que é absurdo.

SEGUNDO HERMITE[30]

Para todo número natural existe um número primo . Para isto basta escolher um número qualquer dividindo (teorema fundamental da aritmética). Se tivermos então divide , como divide , logo dividiria , absurdo.

SEGUNDO GOLDBACH[31]

Suponha uma sucessão infinita de naturais primos entre si, dois a dois, nenhum deles tem fator primo em comum. Se é um fator primo de , é um fator primo de é um fator primo de , então são todos distintos. Os números de Fermat (para ) são, dois a dois, primos entre si. Por recorrência sobre demonstra-se que , então, se , divide , Se existisse um número primo p que dividisse e , dividiria , portanto dividiria , então . O que é impossível porque é ímpar.

Dado um número natural qual é a proporção de números primos entre os números menores que

  • A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:
Supondo que o número de primos seja finito e sejam os primos. Seja o número tal que
= onde denota o produtório.
Se é um número primo, é necessariamente diferente dos primos pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.
Por outro lado, se é composto, existe um número primo tal que é divisor de
Mas obviamente Logo existe um novo número primo.
Há um novo número primo, seja primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
Uma outra prova envolve considerar um número inteiro Temos que, necessariamente, é coprimo de (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que ). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado e resto e do maior pelo menor tem resultado e resto . Assim, tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.
Tomemos o sucessor deste, que representamos como Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a Ao multiplicar os dois números, temos Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
  • A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente onde é o logaritmo natural.
  • Para qualquer número inteiro , existem números inteiros consecutivos todos compostos.
  • O produto de qualquer sequência de números inteiros consecutivos é divisível por
  • Se não é primo, então possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a
  • Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos

Grupos e sequências de números primos[editar | editar código-fonte]

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma tal como etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:

Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:

  • - que podem sempre ser escritos na forma (); e
  • - nunca podem ser escritos na forma ().

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo:

, e são primos mas não é, pois .

Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número é seguido de cento e onze[32] números compostos e não existem[33] primos entre os números e .

Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo fornece primos quando [34][35]. Veja que para x = 41, a fórmula resulta em que não é primo.

Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de de fato em 1752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de

Não se sabe se há uma expressão polinomial com que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se e não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis

representa infinitos primos, quando e assumem valores positivos inteiros.

Fermat pensou que a fórmula forneceria números primos para Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por Os cinco primeiros números são:

sendo todos primos.

Aproximações para o n-ésimo primo[editar | editar código-fonte]

Como consequência do teorema do número primo, uma expressão assintótica para o n-ésimo primo é:

Uma aproximação melhor é:

[36]

O teorema de Rosser mostra que é maior que . É possível melhorar esta aproximação com os limites [37][38]:

Maior número primo já calculado[editar | editar código-fonte]

Em Janeiro de 2013, foi divulgado o maior número primo já calculado. Tem dígitos que, se fosse escrito por extenso, ocuparia 3,4 mil páginas impressas com cinco mil caracteres cada.

É o número

Foi descoberto por Curtis Cooper, da Universidade Central do Missouri em Warrensburg, EUA, como parte do Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), um projeto internacional de computação compartilhada desenhado para encontrar números primos de Mersene[39].

Em janeiro de 2016, um grupo de matemáticos da mesma universidade descobriu um número primo com mais de 22 milhões de dígitos.[40]

É o número e tem 22 338 618 dígitos, mais 5 milhões que o último conhecido.[41]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Vianna, João José Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. (Rio de Janeiro: Francisco Alves). p. 59. 
  2. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011 (pag. 90)
  3. Euclides, Os Elementos, Livro IX, Proposição 20 [em linha]
  4. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-22. 
  5. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-22. 
  6. RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. (pag. 2 e 3)
  7. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 83)
  8. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 84)
  9. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 85)
  10. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 88)
  11. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 92)
  12. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 102)
  13. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 105)
  14. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 107)
  15. Kilford, L.J.P. (2004). «A generalization of a necessary and sufficient condition for primality due to Vantieghem». Int. J. Math. Math. Sci. [S.l.: s.n.] (69-72): 3889–3892. arXiv:math/0402128. Zbl 1126.11307. . An article with proof and generalizations
  16. Vantieghem, E. (1991). «On a congruence only holding for primes». Indag. Math., New Ser. [S.l.: s.n.] 2 (2): 253–255. Zbl 0734.11003. 
  17. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 89)
  18. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 92)
  19. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 102)
  20. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011. (pag 93)
  21. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 101)
  22. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011. (pag. 83)
  23. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 84)
  24. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 97)
  25. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 98)
  26. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 101)
  27. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 104)
  28. RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.(pag 1)
  29. RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.(pag 3)
  30. RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.(pag 4)
  31. RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.(pag 4)
  32. Conforme cálculo feito pelo Wolfram Alpha.
  33. Conforme cálculo feito pelo Wolfram Alpha.
  34. Hua (2009), p. 176-177"
  35. Ver lista dos valores, calculada pelo Wolfram Alpha
  36. Ernest Cesàro (1894). «Sur une formule empirique de M. Pervouchine». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences [S.l.: s.n.] 119: 848–849.  (em francês)
  37. Eric Bach, Jeffrey Shallit (1996). Algorithmic Number Theory 1 MIT Press [S.l.] p. 233. ISBN 0-262-02405-5. 
  38. Pierre Dusart (1999). «The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k-1) for k>=2» (PDF). Mathematics of Computation [S.l.: s.n.] 68: 411–415. 
  39. «World’s largest prime number discovered -- all 17 million digits». 
  40. «Missouri Mathematicians Discover New Prime Number». 
  41. BBC. «Largest known prime number discovered in Missouri». 

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Hua, L. K. (2009). Additive Theory of Prime Numbers. Translations of Mathematical Monographs 13 AMS Bookstore [S.l.] ISBN 978-0-8218-4942-2. 
  • Marcus du Sautoy, Os mistérios dos números: Uma viagem pelos grandes enigmas da matemática (que até hoje ninguém foi capaz de resolver), Jorge Zahar Editor Ltda, 2013 ISBN 8-537-81099-1
  • Luogeng Hua, Additive theory of prime numbers, American Mathematical Soc. ISBN 0-821-89750-0 (em inglês)
  • Mary Jane Sterling, Álgebra I Para Leigos , Alta Books Editora, 2013 ISBN 8-576-08256-X
  • Edward S. Wall, Teoria dos Números para Professores do Ensino Fundamental, McGraw Hill Brasil, 2014 ISBN 8-580-55353-9
  • PAULO BOUHID, NÚMEROS CRUZADOS, biblioteca24horas ISBN 8-578-93055-X
  • LAURA LEMAY, ROGERS CADENHEAD, APRENDA EM 21 DIAS JAVA 2 - TRADUÇÃO DA 4a ED. Elsevier Brasil ISBN 8-535-21685-5
  • HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.
  • RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.
  • SANTOS, José Plínio de Oliveira. Introdução à teoria dos Números. 3ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.
  • LOVÁSZ, L. PELIKÁN, J. e VESZTERGOMBI, K. Matemática Discreta. 1ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2010.
  • http://paginapessoal.utfpr.edu.br/rwprobst/formacao-academica/curriculo/primos.pdf

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