Sequência de Lucas

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Em matemática, as sequências de Lucas U_n(P,Q) e V_n(P,Q) são certas sequências de inteiros que satisfazem a relação de recorrência {\displaystyle x_n = P x_{n-1} -Q x_{n-2},} em que P e Q são inteiros fixos. Qualquer outra sequência satisfazendo esta relação de recorrência pode ser representada como uma combinação linear das sequências de Lucas U_n(P,Q) e V_n(P,Q).

Mais geralmente, sequências de Lucas representam sequências de polinômios em P e Q com coeficientes inteiros.

Entre os exemplos de sequências de Lucas estão os números de Fibonacci, os números de Mersenne, os números de Pell, os números de Lucas, os números de Jacobsthal e um superconjunto dos números de Fermat. As sequências de Lucas recebem o nome do matemático francês Édouard Lucas.

Relações de recorrência[editar | editar código-fonte]

Dados dois parâmetros inteiros P e Q, as sequências de Lucas do primeiro e segundo tipo, U_n(P,Q) e V_n(P,Q) respectivamente, são definidas pelas relações de recorrência: {\displaystyle U_0(P,Q)=0,} {\displaystyle U_1(P,Q)=1,} {\displaystyle U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q) \mbox{  para }n>1,}

e {\displaystyle V_0(P,Q)=2,} {\displaystyle V_1(P,Q)=P,} {\displaystyle V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q) \mbox{  para }n>1,}

Não é difícil mostrar que para n>0, {\displaystyle U_n(P,Q)=\frac{P\cdot U_{n-1}(P,Q) + V_{n-1}(P,Q)}{2},} {\displaystyle V_n(P,Q)=\frac{(P^2-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}.}


Exemplos[editar | editar código-fonte]

A tabela a seguir fornece os primeiros termos das sequências de Lucas U_n(P,Q) e V_n(P,Q):


\begin{array}{r|l|l}
n & U_n(P,Q) & V_n(P,Q)
\\
\hline
0 & 0 & 2
\\
1 & 1 & P
\\
2 & P & {P}^{2}-2Q
\\
3 & {P}^{2}-Q & {P}^{3}-3PQ
\\
4 & {P}^{3}-2PQ & {P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}
\\
5 & {P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2} & {P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}
\\
6 & {P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2} & {P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}
\end{array}

Nomes específicos[editar | editar código-fonte]

As sequências de Lucas para alguns valores de P e Q recebem nomes específicos:

Un(1,−1) : números de Fibonacci
Vn(1,−1) : números de Lucas
Un(2,−1) : números de Pell
Vn(2,−1) : números de Pell-Lucas
Un(1,−2) : números de Jacobsthal
Vn(1,−2) : números de Jacobsthal-Lucas
Un(3, 2) : números de Mersenne 2n − 1
Vn(3, 2) : números de forma 2n + 1, que incluem os números de Fermat (Yubuta 2001).
Un(x,−1) : polinômios de Fibonacci
Vn(x,−1) : polinômios de Lucas
Un(x+1, x) : Repunits de base x
Vn(x+1, x) : xn + 1

Algumas sequências de Lucas têm entradas na enciclopédia online de sequências de inteiros (OEIS):

P Q U_n(P,Q) V_n(P,Q)
-1 3 A214733
1 -1 A000045 A000032
1 1 A128834 A087204
1 2 A107920
2 -1 A000129 A002203
2 1 A001477
2 2 A009545 A007395
2 3 A088137
2 4 A088138
2 5 A045873
3 -5 A015523 A072263
3 -4 A015521 A201455
3 -3 A030195 A172012
3 -2 A206776
3 -1 A006190 A006497
3 1 A001906 A005248
3 2 A000225 A000051
3 5 A190959
4 -3 A015530 A080042
4 -2 A090017
4 -1 A001076 A014448
4 1 A001353 A003500
4 2 A056236
4 3 A003462 A034472
4 4 A001787
5 -3 A015536
5 -2 A015535
5 -1 A087130
5 1 A003501
5 4 A002450 A052539

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Tais sequências têm aplicações na Teoria de Números e na prova que um dado número é primo (primalidade).

Ligações externas[editar | editar código-fonte]