Número de Leyland

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Em teoria dos números, um Número de Leyland, nomeado em homenagem ao matemático Paul Leyland é um número da forma

onde x e y são números inteiros maiores que 1. [1]

Os primeios números de Leyland são

8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124 (sequência A076980 na OEIS).

A condição de x e y serem ambos maiores que 1 é importante, pois sem essa restrição todo número inteiro positivo seria um número de Leyland da forma , que gera o sucessor do número x. Além disso, por conta da propriedade comutativa da adição para o anel dos números inteiros, a condição xy é usualmente adicionada para evitar uma dupla entrada do conjunto dos número de Leyland. (ou seja, 1 < yx). De forma mais rigorosa, seja uma função de duas variáveis que gera os números de Leyland. É claro que e , donde são naturais as restrições impostas. Além disso,

Primos de Leyland[editar | editar código-fonte]

Um primo de Leyland é um número de Leyland que também é um número primo. Os primeiros são

17, 593, 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ... (sequência A094133 na OEIS)

que correspondem a

32+23, 92+29, 152+215, 212+221, 332+233, 245+524, 563+356, 3215+1532.[2]

Fixando o valor de y e considerando a sequência dos valoresx que geram primos de Leyland, por exemplo x2 + 2x , temos que este é primo para x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, ... ((sequência A064539 na OEIS)).

Em novembro de 2012, o maior número de Leyland comprovadamente primo era 51226753 + 67535122, com um total de 5050 dígitos (sendo curiosamente 5050 o centésimo número triangular). De janeiro a abril de 2011 foi o maior número primo cuja primalidade foi provada pelo método de primalidade da curva elíptica. [3] Em dezembro de 2012, foi provada a primalidade de 311063 + 633110 (5596 algarismos) e 86562929 + 29298656 (30008 algarismos).[4] Há vários prováveis primos, como 3147389 + 9314738,[5][6]

Números de Leyland para subtração[editar | editar código-fonte]

Os números de Leyland para subtração são da forma

onde x e y são inteiros maiores do que 1.

Os números de Leyland para subtração primos são os números de Leyland para subtração que também são primos. Os primeiros termos são:

7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 375700268413577, 2251799813682647, ... (sequência A123206 na OEIS)

Para prováveis primos, veja .[7]

Referências

  1. Richard Crandalle Carl Pomerance (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (Português: Números primos: uma perspectiva computacional (em inglês), Springer 
  2. «Primes and Strong Pseudoprimes of the form xy + yx» (em inglês). Paul Leyland. Consultado em 14 de janeiro de 2007 
  3. «Elliptic Curve Primality Proof» (em inglês). Chris Caldwell. Consultado em 3 de abril de 2011 
  4. «Mihailescu's CIDE» (em inglês). mersenneforum.org. 11 de dezembro de 2012. Consultado em 26 de dezembro de 2012 
  5. Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP Top Records search (em inglês).
  6. «Factorizations of xy + yx for 1 < y < x < 151» (em inglês). Andrey Kulsha. Consultado em 24 de junho de 2008 
  7. Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP Top Records search