Série divergente

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Em matemática, uma série divergente é uma série que não converge. Tais Séries, são somas infinitas de parcelas que obedecem a uma regra e/ou Termo Geral. Se uma série converge, os termos individuais da série devem tender a zero. Portanto, toda série na qual os termos individuais não tendem a zero, diverge. O exemplo mais simples de uma série divergente cujos termos aproximam-se de zero é a série harmônica

1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}.

A divergência da série harmônica foi demonstrada de forma distinta pelo matemático medieval Nicole d'Oresme.

Às vezes é possível atribuir um valor às séries divergentes utilizando o método da soma. Por exemplo, a soma de Cesàro atribui à série divergente de Grandi

1 - 1 + 1 - 1 + \cdots

o valor ½. Em física, existe uma ampla variedade de métodos da soma.

Propriedades dos métodos da soma[editar | editar código-fonte]

Se A é uma função que atribui-se um valor a uma seqüência, é conveniente que possua certas propriedades se é que pretende-se que seja um método da soma útil.

  1. Regularidade. Um método é regular se, toda vez que a seqüência s converge a x, A(s) = x.
  2. Linearidade. A é linear se é funcionalmente linear sobre seqüências convergentes, de forma tal que A(r + s) = A(r) + A(s) e A(ks) = k.A(s), para k um escalar (real ou complexo)
  3. Estabilidade. Se s é uma seqüência que começa em s0 e s′ é a seqüência obtida ao subtrair o primeiro valor, pelo que começa em s1, então A(s) é definida se e somente se A(s′) é definida, e A(s) = A(s′ ).

A terceira condição é menos importante, e existem alguns métodos destacados, por exemplo, o método de soma de Borel, que não a satisfaz.

Uma propriedade desejável entre dois métodos da soma A e B é que possua consistência: A e B são consistentes se para toda seqüência s a que ambos atribuem um valor, A(s) = B(s). Se dois métodos são consistentes, e um soma mais séries que o outro, pode-se dizer que aquele que soma mais séries é mais potente.

De toda forma é conveniente notar que existem métodos da soma poderosos que todavia, não são nem lineares, nem regulares, por exemplo transformações de seqüências não-lineares como as transformações de seqüências tipo Levin e as aproximações de Padé.

Média abeliana[editar | editar código-fonte]

Supondo que λn é uma seqüência estritamente crescente que tende ao ∞, e λ0 ≥ 0. E sendo an=sn+1-sn uma série infinita, cuja seqüência correspondente é s. E supondo que

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \exp(-\lambda_n x)

converge para todos os números reais positivos x. Então a média abeliana Aλ define-se como

A_\lambda(s) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x).

Uma série deste tipo é chamada série generalizada de Dirichlet; no âmbito da física, este método é conhecido como regularização do heat-kernel.

As médias abelianas são regulares, lineares, e estaveis, mas nem sempre resultam ser consistentes entre si. Contudo, existem alguns casos especiais de médias abelianas que são métodos da suma muito importantes.

Soma de Abel[editar | editar código-fonte]

Se λn = n, então obtém-se o método da Soma de Abel. Onde

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \exp(-nx) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n,

com z = exp(-x). E portanto, o limite de f(x) quando x tende a 0 desde os reais positivos é o limite da série de potências para f(z) quando z tende a 1 negativo desde os reais positivos, e a soma de Abel A(s) define-se como

A(s) = \lim_{z \rightarrow 1^{-}} a_n z^n.

A soma de Abel, em parte, é interessante porque é consistente com a soma de Cesàro: se Ck(s) = a para todo k positivo, então A(s) = a. Portanto a soma de Abel é regular, linear, estável, e consistente com a soma de Cesàro. A soma de Abel é mais potente que a soma de Cesàro, por exemplo, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · tem uma soma de Abel mas não uma soma de Cesáro.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Divergent Series by Godfrey Harold Hardy, Oxford, Clarendon Press, 1949.
  • Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.
  • Padé Approximants by G. A. Baker, Jr. and P. Graves-Morris, Cambridge U.P., 1996.
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