Soma de Cesàro

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Em análise matemática, a soma de Cesàro é um meio alternativo de descrever a soma de uma série infinita. Se a série converge, no senso usual, para uma soma α, então a série é também somável por Cesàro e possui valor α. A importância da soma de Cesàro é que uma série divergente pode ter uma soma de Cesàro bem definida.

O método recebe esse nome em homenagem ao matemático italiano Ernesto Cesàro (1859-1906).

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja uma seqüência, e seja

onde é a k-ésima soma parcial da série

.

A seqüência é dita somável no sentido de Cesàro, com soma de Cesàro igual a , se

.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Seja para . Isto é, é a seqüência

.

Então a seqüência das somas parciais é

,

então esta série, conhecida como série de Grandi, claramente não converge. Por outro lado, os temos da sequência são

,

e daí

.

Conseqüentemente a soma de Cesàro da seqüencia é .

Generalizações[editar | editar código-fonte]

Em 1890, Ernesto Cesàro determinou uma extensa família de métodos de soma que haviam sido chamadas para inteiros não negativos . O método é apenas uma somatória ordinária, e é a somatória de Cesàro como descrita acima.

Os métodos de alta ordem podem ser descritos como segue: dada uma série , definem-se as quantidades

e define-se Enα como sendo Anα para a série 1 + 0 + 0 + 0 + · · ·. Então a soma de é

se ela existir.[1]

Notas

  1. Shawyer and Watson pp.16-17

Referências[editar | editar código-fonte]

Shawyer, Bruce and Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications Oscford UP [S.l.] ISBN 0-19-853585-6.