Soma de Borel

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Em matemática, uma soma de Borel é uma generalização da noção comum de soma de uma série. Em particular, provê uma definição de uma quantidade que em numerosos aspectos comporta-se formalmente como uma soma, ainda no caso de que a série seja divergente.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja

y = \sum_{k = 0}^\infty y_kz^{-k}

uma série de potência formal em z.

Define-se a transformada de Borel \mathcal{B}y de y mediante

\sum_{k=0}^\infty \frac{y_k}{(k-1)!}t^{k-1}.

Supondo que

  1. \mathcal{B}y tem um radio de convergência não nulo como função de t
  2. \mathcal{B}y pode ser continuada em forma analítica a uma função \hat{y}(t) sobre toda a reta real positiva
  3. \hat{y}(t) como cresce muito em forma exponencial ao longo da reta real

Então, a soma de Borel de y está dada pela transformada de Laplace de \hat{y}(t). A existência desta função está garantida pela condição (3) indicada anteriormente.

Discussão[editar | editar código-fonte]

A soma de Borel de uma série é a transformada de Laplace da soma das anti-transformadas de Laplace termo a termo da série original. Se a transformada de Laplace de uma série infinita for igual à soma da transformada de Laplace termo a termo então, a soma de Borel seria igual à soma comum. A soma de Borel é definida em muitas situações nas que a soma não está definida. Expressando-o em termos planos, permite dar-lhe um significado à 'soma' de certo tipo de séries divergentes. A suma de Borel é um exemplo de um método de momento constante para somar séries.

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