Progressão aritmética

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante O número é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.[1] [2] [3]

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica definida recursivamente por:[2] [3]

onde o primeiro termo, é um número dado. O número é chamado de razão da progressão aritmética.

Notamos que:

Exemplos:[editar | editar código-fonte]

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

  • é uma progressão aritmética em que o primeiro termo é igual a e a razão é igual a
  • é uma P.A. em que e
  • é uma P.A. com e

Fórmula do termo geral[editar | editar código-fonte]

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por pode ser obtido por meio da formula:[1] [2] [3]

em que:

  • é o primeiro termo;
  • é a razão.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

  • Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto
  • Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para ou seja, que resulta que o n-ésimo termo é dado por:

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o -ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do -ésimo termo por:

Com efeito,

Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:

ou seja, a partir do segunda termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:

Soma dos termos de uma progressão aritmética[editar | editar código-fonte]

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de até é calculada pela seguinte fórmula:

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:

ou

Exemplo: Seja qual é a soma dos 4 primeiros números?

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

Considerando a PA a soma de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

Somando membro a membro, obtemos:

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA

e assim por diante

Então, como há pares de termos:

Interpolação aritmética[editar | editar código-fonte]

Dada uma sequência finita chamamos e de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar) meios entre dois números dados e de forma a obtermos uma progressão aritmética de termos, sendo e seus extremos.[2]

A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de termos meios entre dois números dados e tem primeiro termo e razão:

Com efeito, vemos que tomando temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:

como queríamos.

Tipos de progressões aritméticas[editar | editar código-fonte]

Progressão aritmética constante[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.[2] [3]

Exemplos de progressões aritméticas constantes:

  • tem razão r = 0
  • tem razão r = 0

Progressão aritmética crescente[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).[2] [3]

Exemplos de progressões aritméticas crescentes:

  • com razão r = 2
  • com razão r = 3

Progressão aritmética decrescente[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).[2] [3]

Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:

  • tem razão igual a -2
  • tem razão igual a -3

Progressão aritmética de segunda ordem[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números em que as diferenças entre os termos consecutivos forma uma progressão aritmética.[4] Por exemplo, a sequência:

uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos é uma progressão aritmética de primeiro termo e razão

De forma geral, uma progressão aritmética de ordem é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem [4] [5] .

Progressão aritmética de ordem qualquer[editar | editar código-fonte]

Generalizando-se para o caso de uma sequência de ordem k, as fórmulas abaixo se aplicam para uma sequência de qualquer ordem. O primeiro termo dessa sequência é aqui designado por a razão primária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência primária) por a razão secundária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência formada pelas razões primárias) por ... a razão de ordem k por De modo semelhante ao fato de dois pontos serem suficientes para se determinar uma reta, com dois valores de uma sequência de ordem 1 (linear) e a posição que ocupam, é possível escrever a equação dessa sequência. Para uma sequência de ordem 2, são necessários e suficientes 3 valores. Em geral, para uma sequência de ordem são necessários valores. Para uma sequência de ordem k, o termo geral é calculado por:

Nota: os coeficientes são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

onde e são inteiros, e é o fatorial de x.

O coeficiente binomial corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n-1 elementos agrupados m a m.

A soma dos primeiros termos da sequência () é calculada por:

Exemplificando: 1) Determinar o termo geral da sequência {4, 9, 16, 25, 36, 49...}. Sendo o n-ésimo termo dessa sequência. É possível ver que se trata de uma sequência de segunda ordem porque a razão secundária é constante (neste caso é igual a 2), como mostrado abaixo. Generalizando, em uma sequência de ordem k, a sua razão de ordem k é constante.

Aplicando-se a fórmula:

2) Encontrar a soma dos n primeiros termos dessa sequência (). De modo semelhante ao realizado acima:

3) Em uma sequência de terceira ordem, o sétimo termo é igual a 345, o décimo termo é igual a 1002, o décimo quinto termo é igual a 3377 e o vigésimo quinto termo é igual a 15627.

a) Determine o trigésimo termo dessa sequência.
b) Escreva a equação que determina o n-ésimo termo dessa sequência em função de

a) Usando-se os dados fornecidos (em azul) na fórmula do

Como vem:

Da mesma forma, para os outros dados:

Desenvolvendo-se as expressões acima, obtemos esse sistema de equações lineares:
O conjunto solução desse sistema é:
Aplicando-se a fórmula para o caso obtemos
Calculando-se a expressão acima, obtém-se:

b) De modo semelhante ao usado no exemplo 1, agora que possuímos os valores das razões e basta substituir os seus valores na fórmula de

Logo:
Obs. Uma das propriedades dos números binomiais, a relação de Sfifeel, diz que:
Isso permite verificar uma propriedade de autoconsistência das fórmulas:

Considerando-se também o princípio da indução matemática e uma das propriedades dos somatórios,

que, multiplicando-se os dois lados da equação por um número , esta se torna:


esse fato já demonstra as fórmulas apresentadas sobre as sequências aritméticas de ordem . A fórmula é válida para , ou seja,

,

,

, que equivale à expressão mostrada acima.

Progressões Aritmético-Geométricas[editar | editar código-fonte]

São progressões aritméticas e geométricas ao mesmo tempo. Considere uma seqüência cujo termo geral é , com .

Veja que se ela se reduz à fórmula do termo geral de uma progressão aritmética () e se , temos a fórmula de uma progressão geométrica, ().

A fórmula para a soma dos primeiros termos dessa sequência [6] é:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b Spiegel, Murray R. Teoria e problemas de álgebra 2 ed. Bookman [S.l.] p. 251. ISBN 9788536303406. 
  2. a b c d e f g Iezzi, G.; et al. (2012). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 4 8 ed. Atual [S.l.] ISBN 9788535717488. 
  3. a b c d e f Medeiros, V. Z.; et al. (2013). Pré-Cálculo 3 ed. Trilha [S.l.] ISBN 9788522116126. 
  4. a b Lima, E. L.; et al. (2006). A Matemática do Ensino Médio - Volume 2 6 ed. SBM [S.l.] ISBN 8585818115. 
  5. Courant, Richard. Cálculo Diferencial e Integral Globo [S.l.] p. 29. 
  6. Revista Eureka! nº 14 (página 34), da Sociedade Brasileira de Matemática. < http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka14.pdf >