Progressão aritmética

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Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.[1] [2] [3]

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica (a_n)_{n\in\mathbb{N}} definida recursivamente por:[2] [3]

{\displaystyle a_n = a_{n-1} +p r,\quad n>1,}

onde o primeiro termo, a_1, é um número dado. O número r é chamado de razão da progressão aritmética.

Notamos que:

{\displaystyle r = a_n - a_{n-1},\quad n> 1.}

Exemplos:[editar | editar código-fonte]

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

  • (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots) é uma progressão aritmética em que o primeiro termo a_1 é igual a 1 e a razão r é igual a 3.
  • (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots) é uma P.A. em que a_1 = -2 e r = -2.
  • (6,~6, ~6,~6,~6,~\ldots) é uma P.A. com a_1 = 6 e r = 0.

Fórmula do termo geral[editar | editar código-fonte]

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por a_n, pode ser obtido por meio da formula:[1] [2] [3] {\displaystyle a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r,} em que:

  • a_1 é o primeiro termo;
  • r é a razão.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

  • Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto a_2 = a_1 + 1 \cdot r;
  • Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para n-1, ou seja, que a_{n-1} = a_1 + (n - 2) \cdot r, resulta que o n-ésimo termo é dado por:

{\displaystyle a_n = a_{n-1} + r = (a_1 + (n - 2) \cdot r) + r = a_1 + ((n - 2) \cdot r + r) = a_1 + (n - 1) \cdot r.}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o n-ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do m-ésimo termo por:

{\displaystyle a_n = a_m + (n - m) \cdot r.}

Com efeito, a_m + (n-m)r = a_1 + (m-1)r + (n-m)r = a_1 + (n-1)r = a_n.

Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:

{\displaystyle a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2},\quad n>1}

ou seja, a partir do segunda termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:

{\displaystyle \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = \frac{a_1 + (n-2)r + a_1 + nr}{2} = \frac{2(a_1 + (n-1)r)}{2} = a_n.}

Soma dos termos de uma progressão aritmética[editar | editar código-fonte]

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de a_p até a_q é calculada pela seguinte fórmula: {\displaystyle S_{(p,q)}=\frac{(q - p + 1) \cdot (a_p + a_q)}{2}.}

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior: {\displaystyle S_n=\frac{n \cdot \left(a_1 + a_n\right)}{2}} ou {\displaystyle S_n=\frac{n}{2} \cdot \left(a_1 + a_n\right)}

Exemplo: Seja PA = (10, 8, 6, 4, 2), qual é a soma dos 4 primeiros números?

{\displaystyle 
   \begin{align}
    S_4 &= \frac{4}{2} \cdot \left(10 + 4\right) \\
    S_4 &= 2 \cdot 14 \\
    S_4 &= 28
   \end{align}
}

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

Considerando a PA (a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}, a_n), a soma S_n de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

{\displaystyle S_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n } {\displaystyle S_n = a_n + a_{n-1} + ... + a_2 + a_1 }

Somando membro a membro, obtemos:

{\displaystyle 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + ... + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1) } {\displaystyle 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + ... + (a_2 + a_{n-1}) + (a_1 + a_n) }

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA

{\displaystyle (a_2 + a_{n-1}) = (a_1 + r + a_n - r) = (a_1 + a_n) } {\displaystyle (a_3 + a_{n-2}) = (a_1 + 2r + a_n - 2r) = (a_1 + a_n) }

e assim por diante

{\displaystyle 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + ... + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) }

Então, como há n pares de termos:

{\displaystyle 2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n } {\displaystyle S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} }

Interpolação aritmética[editar | editar código-fonte]

Dada uma sequência finita (a_1,~a_2,~\ldots,~a_n), chamamos a_1 e a_n de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar) k meios entre dois números dados a e b, de forma a obtermos uma progressão aritmética de n = k+2 termos, sendo a e b seus extremos.[2]

A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de k termos meios entre dois números dados a e b tem primeiro termo a_1 = a e razão:

{\displaystyle r = \frac{b - a}{k+1}.}

Com efeito, vemos que tomando n = k+2, temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:

{\displaystyle a_n =a + (k+2 - 1)\frac{b - a}{k+ 1} = b }

como queríamos.

Tipos de progressões aritméticas[editar | editar código-fonte]

Progressão aritmética constante[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.[2] [3]

Exemplos de progressões aritméticas constantes:

  • (5,~5,~5,~5,~5,~5,~\ldots) tem razão r = 0
  • (0,~0,~0,~0,~0,~0,~\ldots) tem razão r = 0

Progressão aritmética crescente[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).[2] [3]

Exemplos de progressões aritméticas crescentes:

  • (2,~4,~6,~8,~10,~\ldots) com razão r = 2
  • (3,~6,~9,~12,~15,~\ldots) com razão r = 3

Progressão aritmética decrescente[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).[2] [3]

Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:

  • (6,~4,~2,~0,~-2,~\ldots) tem razão igual a -2
  • (6,~3,~0,~-3,~-6,~\ldots) tem razão igual a -3

Progressão aritmética de segunda ordem[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números (a_n) em que as diferenças entre os termos consecutivos \Delta a_n = a_{n+1}-a_n forma uma progressão aritmética.[4] Por exemplo, a sequência:

{\displaystyle (1,~3,~7, ~13,~21,~31,~\ldots)}

uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos (\Delta a_n) é uma progressão aritmética de primeiro termo \Delta a_1 = 2 e razão r = 2.

De forma geral, uma progressão aritmética de ordem k >= 2 é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem k-1. [4] [5] .

Progressão aritmética de ordem qualquer[editar | editar código-fonte]

Generalizando-se para o caso de uma sequência de ordem k, as fórmulas abaixo se aplicam para uma sequência de qualquer ordem. O primeiro termo dessa sequência é aqui designado por r_0, a razão primária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência primária) por r_1, a razão secundária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência formada pelas razões primárias) por r_2, ... a razão de ordem k por r_k. De modo semelhante ao fato de dois pontos serem suficientes para se determinar uma reta, com dois valores de uma sequência de ordem 1 (linear) e a posição que ocupam, é possível escrever a equação dessa sequência. Para uma sequência de ordem 2, são necessários e suficientes 3 valores. Em geral, para uma sequência de ordem k são necessários k+1 valores. Para uma sequência de ordem k, o termo geral é calculado por: {\displaystyle a_n=\sum_{m=0}^{k}{n-1\choose m}r_m}

Nota: os coeficientes {n-1 \choose m} são chamados coeficientes binomiais e são definidos como: {\displaystyle {n-1 \choose m}=\frac{(n-1)!}{(n-1-m)!(m)!},} onde n e m são inteiros, m\leq n-1 e x! = 1 \times 2 \times \ldots x é o fatorial de x.

O coeficiente binomial {n-1\choose m} corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n-1 elementos agrupados m a m.

A soma dos primeiros termos da sequência (S_n) é calculada por:

{\displaystyle S_n=\sum_{m=0}^{k}{n\choose m+1}r_m}

Exemplificando: 1) Determinar o termo geral da sequência {4, 9, 16, 25, 36, 49...}. Sendo a_n o n-ésimo termo dessa sequência. É possível ver que se trata de uma sequência de segunda ordem porque a razão secundária é constante (neste caso é igual a 2), como mostrado abaixo. Generalizando, em uma sequência de ordem k, a sua razão de ordem k é constante. {\displaystyle r_0=a_1=4} {\displaystyle r_1=a_2-a_1=9-4=5} {\displaystyle r_2=(16-9)-(9-4)=2} {\displaystyle r_2=(25-16)-(16-9)=2} {\displaystyle r_2=(36-25)-(25-16)=2} {\displaystyle \cdots} {\displaystyle r_2=(a_n-a_{n-1})-(a_{n-1}-a_{n-2})=2}

Aplicando-se a fórmula: {\displaystyle a_n=\sum_{m=0}^{2}{n-1\choose m}r_m={n-1\choose 0}r_0+{n-1\choose 1}r_1+{n-1\choose 2}r_2}

{\displaystyle a_n={n-1\choose 0}4+{n-1\choose 1}5+{n-1\choose 2}2}

{\displaystyle a_n={4}+{5(n-1)}+ \frac{2(n-1)(n-2)}{2}={1}+{2n}+{n^2}={(n+1)^2}}

{\displaystyle a_n={(n+1)^2}} 2) Encontrar a soma dos n primeiros termos dessa sequência (S_n). De modo semelhante ao realizado acima: {\displaystyle S_n=\sum_{m=0}^{2}{n\choose m+1}r_m}

{\displaystyle S_n={n\choose 1}4+{n\choose 2}5+{n\choose 3}2}

{\displaystyle S_n={n}\left(4+\frac{5(n-1)}{2}+\frac{(n-1)(n-2)}{3}\right)}

3) Em uma sequência de terceira ordem, o sétimo termo é igual a 345, o décimo termo é igual a 1002, o décimo quinto termo é igual a 3377 e o vigésimo quinto termo é igual a 15627.

a) Determine o trigésimo termo dessa sequência.
b) Escreva a equação que determina o n-ésimo termo dessa sequência em função de n.

a) Usando-se os dados fornecidos (em azul) na fórmula do r_n: {\displaystyle a_n=\sum_{m=0}^{k}{n-1\choose m}r_m}

{\displaystyle a_7=\sum_{m=0}^{3}{7-1\choose m}r_m=\sum_{m=0}^{3}{6\choose m}r_m.}

Como a_7=345, vem:

{\displaystyle 345=r_0+ r_1{6\choose 1}+r_2{6\choose 2}+r_3{6\choose 3}}

Da mesma forma, para os outros dados: {\displaystyle {\color{blue}1002}=r_0+ r_1{{\color{blue}10}-1\choose 1}+r_2{{\color{blue}10}-1\choose 2}+r_3{{\color{blue}10}-1\choose 3}=r_0+ r_1{9\choose 1}+r_2{9\choose 2}+r_3{9\choose 3}}

{\displaystyle {\color{blue}3377}=r_0+ r_1{{\color{blue}15}-1\choose 1}+r_2{{\color{blue}15}-1\choose 2}+r_3{{\color{blue}15}-1\choose 3}=r_0+ r_1{14\choose 1}+r_2{14\choose 2}+r_3{14\choose 3}}

{\displaystyle {\color{blue}15627}=r_0+ r_1{{\color{blue}25}-1\choose 1}+r_2{{\color{blue}25}-1\choose 2}+r_3{{\color{blue}25}-1\choose 3}=r_0+ r_1{24\choose 1}+r_2{24\choose 2}+r_3{24\choose 3}} Desenvolvendo-se as expressões acima, obtemos esse sistema de equações lineares: {\displaystyle \begin{matrix}
r_0+6r_1+15r_2+20r_3=345\\
r_0+9r_1+36r_2+84r_3=1002\\
r_0+14r_1+91r_2+364r_3=3377\\
r_0+24r_1+276r_2+2024r_3=15627\\
\end{matrix}
} O conjunto solução desse sistema (S) é: {\displaystyle S=\begin{Bmatrix}
r_0=3\\
r_1=7\\
r_2=12\\
r_3=6\\
\end{Bmatrix}
} Aplicando-se a fórmula para o caso n=30, obtemos a_{30}: {\displaystyle a_{30}=\sum_{m=0}^{3}{30-1\choose m}r_m} {\displaystyle a_{30}=r_0+ r_1{{\color{blue}30}-1\choose 1}+r_2{{\color{blue}30}-1\choose 2}+r_3{{\color{blue}30}-1\choose 3}=r_0+ r_1{29\choose 1}+r_2{29\choose 2}+r_3{29\choose 3}} {\displaystyle a_{30}=3+ 7{{\color{blue}30}-1\choose 1}+12{{\color{blue}30}-1\choose 2}+6{{\color{blue}30}-1\choose 3}=3+ 7{29\choose 1}+12{29\choose 2}+6{29\choose 3}} Calculando-se a expressão acima, obtém-se: {\displaystyle a_{30}=27002}

b) De modo semelhante ao usado no exemplo 1, agora que possuímos os valores das razões r_0, r_1, r_2 e r_3, basta substituir os seus valores na fórmula de a_n:

{\displaystyle a_n=\sum_{m=0}^{k}{n-1\choose m}r_m} {\displaystyle a_n=\sum_{m=0}^{3}{n-1\choose m}r_m} {\displaystyle a_n= 3+ 7{n-1\choose 1}+12{n-1\choose 2}+6{n-1\choose 3}.} Logo: {\displaystyle a_n=n^3+2} Obs. Uma das propriedades dos números binomiais, a relação de Sfifeel, diz que: {\displaystyle {n-1\choose m}+{n-1\choose m+1}={n\choose m+1}.} Isso permite verificar uma propriedade de autoconsistência das fórmulas:

{\displaystyle \begin{matrix}\underbrace{\sum_{m=0}^{k}{n-1\choose m}r_m}\\a_n\end{matrix}+\begin{matrix}\underbrace{\sum_{m=0}^{k}{n-1\choose m+1}r_m}\\S_{n-1}\end{matrix}=\begin{matrix}\underbrace{\sum_{m=0}^{k}{n\choose m+1}r_m}\\S_n\end{matrix}}

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b Spiegel, Murray R. Teoria e problemas de álgebra 2 ed. Bookman [S.l.] p. 251. ISBN 9788536303406. 
  2. a b c d e f g Iezzi, G.; et al. (2012). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 4 8 ed. Atual [S.l.] ISBN 9788535717488. 
  3. a b c d e f Medeiros, V. Z.; et al. (2013). Pré-Cálculo 3 ed. Trilha [S.l.] ISBN 9788522116126. 
  4. a b Lima, E. L.; et al. (2006). A Matemática do Ensino Médio - Volume 2 6 ed. SBM [S.l.] ISBN 8585818115. 
  5. Courant, Richard. Cálculo Diferencial e Integral Globo [S.l.] p. 29.