Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante
O número
é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.[1][2][3]
Uma progressão aritmética é uma sequência numérica
definida recursivamente por:[2][3]

onde o primeiro termo,
é um número dado. O número
é chamado de razão da progressão aritmética.
Notamos que:

Alguns exemplos de progressões aritméticas:
é uma progressão aritmética em que o primeiro termo
é igual a
e a razão
é igual a 
é uma P.A. em que
e 
é uma P.A. com
e 
O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por
pode ser obtido por meio da fórmula:[1][2][3]

em que:
é o primeiro termo;
é a razão.
A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:
- Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto

- Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para
ou seja, que
resulta que o n-ésimo termo é dado por:

Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o
-ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do
-ésimo termo por:

efeito,
Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:

ou seja, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles
A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de
até
é dada pelo produto do número de termos no intervalo, (q - p + 1), pela média aritmética dos extremos do intervalo. Ou seja, pela seguinte fórmula:

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:

ou

Exemplo: Seja
qual é a soma dos 4 primeiros números?

Considerando a PA
a soma
de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:


Somando membro a membro, obtemos:


Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA


e assim por diante

Então, como há
pares de termos:


Dada uma sequência finita
chamamos
e
de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar)
meios entre dois números dados
e
de forma a obtermos uma progressão aritmética de
termos, sendo
e
seus extremos.[2]
A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de
termos meios entre dois números dados
e
tem primeiro termo
e razão:

Com efeito, vemos que tomando
temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:

como queríamos.
Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.[2][3]
Exemplos de progressões aritméticas constantes:
tem razão r = 0
tem razão r = 0
Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).[2][3]
Exemplos de progressões aritméticas crescentes:
com razão r = 2
com razão r = 3
Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).[2][3]
Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:
tem razão igual a -2
tem razão igual a -3
Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números
em que as diferenças entre os termos consecutivos
forma uma progressão aritmética.[4] Por exemplo, a sequência:

uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos
é uma progressão aritmética de primeiro termo
e razão
De forma geral, uma progressão aritmética de ordem
é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem
[4][5].
Generalizando-se para o caso de uma sequência de ordem k, as fórmulas abaixo se aplicam para uma sequência de qualquer ordem.
O primeiro termo dessa sequência é aqui designado por
a razão primária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência primária) por
a razão secundária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência formada pelas razões primárias) por
.. a razão de ordem k por
De modo semelhante ao fato de dois pontos serem suficientes para se determinar uma reta, com dois valores de uma sequência de ordem 1 (linear) e a posição que ocupam, é possível escrever a equação dessa sequência.
Para uma sequência de ordem 2, são necessários e suficientes 3 valores.
Em geral, para uma sequência de ordem
são necessários
valores.
Para uma sequência de ordem k, o termo geral é calculado por:

Nota: os coeficientes
são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

onde

e

são inteiros,

e

é o
fatorial de x.
O coeficiente binomial
corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n-1 elementos agrupados m a m.
A soma dos primeiros termos da sequência (
) é calculada por:

Até o momento discutimos Progressão Ariméticas de ordem qualquer por meio de uma abordagem por fórmulas extensas e de pouca implementação computacional.
Porém, podemos estudar elas por meio de polinômios na variável n e grau k ou k+1 (no qual k representa a ordem da sequência analisada). Assim reduzindo o problema à uma resolução de sistema linear, extremamente importante ao utilizar um computador.
Vamos começar com um caso simples que é o da progressão aritmética clássica.
Imediato que a fórmula do termo geral é um polinômio na variável n com grau 1.
Que novamente é imediato que temos uma fórmula da soma dos n primeiros termos como um polinômio na variável n com grau 2.
O sutil é ver aqui que temos apenas 2 coeficientes a determinar já que o termo independente é nulo nesse caso. Portanto, para determinarmos tanto
quanto
precisamos de duas equações, logo dois elementos da sequência, para determinarmos a fórmula geral (como um polinômio em n) por meio de um sistema linear 2 X 2.
Com essas duas fórmulas já demonstradas verifica-se as mesmas coisas concluídas para uma progressão aritmética de ordem 1. Portanto para o termo geral achamos um polinômio de grau 2, e para a soma dos n elementos um polinômio de grau 3 com termo independente nulo.
Para uma progressão aritmética de grau K, podemos concluir por indução e um pouco de álgebra as seguintes ideias:
a) O termo geral pode ser interpretado por um polinômio na variável n com grau K, portanto temos K+1 coeficientes a determinar.
B) A fórmula da soma dos n elementos pode ser interpretado por um polinômio na variável n com grau K + 1 (termo independente nulo), portanto também K+1 coeficientes a determinar.
A beleza dessas conclusões se dá no fato de que com K + 1 elementos da sequência pode-se obter todos seus elementos tanto quanto a soma dos mesmos. O que acontece é que com essa quantia obtemos implicitamente todas as razões parciais, dessa forma, obtendo todas as informações necessárias sem nem mesmo percebemos.
Exemplificando:
1) Determinar o termo geral da sequência {4, 9, 16, 25, 36, 49...}. Sendo
o n-ésimo termo dessa sequência. É possível ver que se trata de uma sequência de segunda ordem porque a razão secundária é constante (neste caso é igual a 2), como mostrado abaixo. Generalizando, em uma sequência de ordem k, a sua razão de ordem k é constante.







Aplicando-se a fórmula:




2) Encontrar a soma dos
n primeiros termos dessa sequência (

).
De modo semelhante ao realizado acima:



3) Em uma sequência de terceira ordem, o sétimo termo é igual a 345, o décimo termo é igual a 1002, o décimo quinto termo é igual a 3377 e o vigésimo quinto termo é igual a 15627.
- a) Determine o trigésimo termo dessa sequência.
- b) Escreva a equação que determina o n-ésimo termo dessa sequência em função de

a) Usando-se os dados fornecidos (em azul) na fórmula do


Como
vem:

Da mesma forma, para os outros dados:



Desenvolvendo-se as expressões acima, obtemos esse sistema de equações lineares:

O conjunto solução desse sistema

é:

Aplicando-se a fórmula para o caso

obtemos



Calculando-se a expressão acima, obtém-se:

- b) De modo semelhante ao usado no exemplo 1, agora que possuímos os valores das razões
e
basta substituir os seus valores na fórmula de 



Logo:

Obs. Uma das propriedades dos números binomiais, a
relação de Sfifeel, diz que:

Isso permite verificar uma propriedade de autoconsistência das fórmulas:

Considerando-se também o princípio da
indução matemática e uma das
propriedades dos somatórios,
que, multiplicando-se os dois lados da equação por um número
esta se torna:
esse fato já demonstra as fórmulas apresentadas sobre as sequências aritméticas de ordem
A fórmula é válida para
ou seja,
que equivale à expressão mostrada acima.
São progressões aritméticas e geométricas ao mesmo tempo. Considere uma seqüência
cujo termo geral é
com
Veja que se
ela se reduz à fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (
) e se
temos a fórmula de uma progressão geométrica, (
).
A fórmula para a soma dos
primeiros termos dessa sequência [6] é:
Referências