Somatório

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O somatório é o operador matemático da soma de termos de uma sequência. Usualmente, ele é denotado pela letra grega sigma () e é definido por:

,

onde é uma sequência dada, é chamado de índice do somatório, é denota o índice inicial (ou limite inferior) e o índice final (ou limite superior)[1][2]. Por exemplo, temos:

.


Aplicações[editar | editar código-fonte]

Os somatórios são úteis para expressar somas arbitrarias de números, por exemplo em fórmulas. Se queremos representar a fórmula para se calcular a média aritmética de números, teremos a seguinte expressão:

,

onde é um dada sequência de números.[2]

Algumas propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam , sequências (por exemplo, de números reais) e um escalar. Então, temos:

1. [2]

2. [2]

3.

4. [2]

5. [2]

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Nas propriedades acima, assumimos que as sequências , pertencem a um espaço vetorial. Particularmente, na propriedade 8., denota a norma (quando existe) definida neste espaço. Esta propriedade é uma extensão natural da desigualdade triangular. No caso do espaço usual dos números reais, é a função valor absoluto.

Para uma sequência é usual denotarmos somatórios duplos da seguinte forma:

Neste contexto temos as seguintes propriedades:

1.

2.

Algumas propriedades envolvendo soma e produto podem ser generalizadas usando a notação de somatório e produtório. Dada uma sequência , o produtório é, usualmente, denotado por:

Por exemplo, temos as propriedades:

1.

2.

Alguns somatórios de funções polinomiais[editar | editar código-fonte]

  1. (Soma de uma progressão aritmética)
  2. (Número piramidal quadrado)
  3. [2]
  4. [2]

Alguns somatórios de funções exponenciais[editar | editar código-fonte]

  1. (Soma dos termos de uma progressão geométrica)
  2. , [2]

Alguns somatórios de frações[editar | editar código-fonte]

1) .


Pelo Teorema de Parseval:

Onde:

Para n ≠ 0, e a0 = 0; Com isso,

e

Portanto:


2) Fixando-se, por exemplo, nas expressões abaixo:

.

Para :

.

Comparando as expressões, dá para observar de um modo geral que:

Ou melhor:

Desenvolvendo-se cada um dos lados:

.

Logo:

.

Observe que, se for um número muito grande, ou melhor, se ele tender a infinito, essa soma será 1, pois:

.


Exemplo, calcular a soma:

.

Aplicando-se a fórmula para :

.

Com esse procedimento também é possível encontrar muitos outros somatórios de frações, como por exemplo:

3)

4)

Perceba que nas expressões (3) e (4), quando tender a infinito, o valor do somatório (limite) tenderá, respectivamente a e

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Howard, Anton (2007). Cálculo Bookmann [S.l.] pp. 373–377. 
  2. a b c d e f g h i Bronshtein, I.N. (2007). Handbook of Mathematics (Berlin: Springer). pp. 6–7;18–19.