Espaço vetorial

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
NoFonti.svg
Esta página ou secção cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo (desde novembro de 2013). Por favor, adicione mais referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Material sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o espaço vetorial ou espaço linear.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.[1]

Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a () formam um espaço vetorial,[2] por exemplo, assim como grupos de matrizes [3] e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:

  1. Um corpo ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares.[4][1] Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
  2. Um conjunto dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal ) de em Os elementos de serão chamados de vetores.[4][1]
  3. Uma operação de em

Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma () e produto () para representar, em cada caso, duas funções distintas: para elementos de não é o mesmo que para elementos de assim como para elementos de não é o mesmo que quando  ∈  e  ∈  Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar para as operações de e para as operações de em e de em Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com seis elementos)

Os seguintes axiomas (além de ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:[5][1]

  1. para (associatividade)
  2. Há um elemento  ∈  tal que, para cada  ∈  (existência de elemento neutro)
  3. Para cada  ∈  existe  ∈  tal que (existência de elemento oposto)
  4. Para cada  ∈  (comutatividade)
  5. Para cada  ∈  e cada  ∈  (associatividade da multiplicação por escalar)
  6. Se é a unidade de então, para cada  ∈  (existência do elemento neutro em )
  7. Para cada  ∈  e cada  ∈  (distributiva de um escalar em relação à soma de vetores)
  8. Para cada  ∈  e cada  ∈  (distributiva da soma de escalares em relação à um vetor)

Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento   cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por

O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo e definir adição em e multiplicação por escalar em Então se satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo

Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento oposto em ) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas:

  • Sejam 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo de Então, como qualquer que seja , temos que , ou seja, é o elemento neutro de
  • Em , existe um elemento tal que Logo, , ou seja, é o elemento oposto de

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Seja formado por um único elemento Então, definindo-se e para todo elemento de um corpo temos que é um espaço vetorial com como corpo de escalares. Obviamente, como é o elemento neutro de isto é, este espaço vetorial é representado por
  • Outro exemplo simples é considerar e as operações de espaço vetorial sendo as mesmas operações do corpo.
  • Seja o conjunto dos pares ordenados de elementos de Então, definindo-se e , temos que é um espaço vetorial.
  • Seja um conjunto qualquer (chamado, neste contexto, de conjunto de indices). Então o conjunto das funções de em é um espaço vetorial, definindo-se naturalmente a soma de duas funções e o produto de um escalar por uma função.
  • Este último exemplo é, de forma geral, a forma de qualquer outro espaço vetorial, porém este resultado requer, em sua demonstração, conceitos abstratos como a teoria das categorias e o axioma da escolha.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se então [6] Isto é assim porque
  • Se  ∈  Isto é assim porque
  • Se  ∈  e  ∈  então [6] Isto é assim porque

Terminologia[editar | editar código-fonte]

  • Um espaço vetorial sobre o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
  • Um espaço vetorial sobre o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
  • Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vectorial normado.

Tipos de espaços vectoriais[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d Noble & Daniel, 1986, p. 85–86
  2. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 46
  3. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 45
  4. a b Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 47
  5. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 44
  6. a b Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 50
  7. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 159

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. (São Paulo: Atual). ISBN 9788570562975. 
  • Noble, Ben; James W. Daniel (1986). Álgebra Linear Aplicada (Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil). ISBN 9788570540225. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
Wikcionário Definições no Wikcionário
Wikilivros Livros e manuais no Wikilivros