Corpo algebricamente fechado

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Em Matemática, um corpo diz-se algebricamente fechado se qualquer polinómio de uma variável e grau maior ou igual a , com coeficientes em , tiver uma raiz em .

Por exemplo, o corpo dos números reais não é algebricamente fechado, pois a equação polinomial

não tem soluções reais, apesar de os seus coeficientes ( e ) serem reais. O mesmo argumento mostra que o corpo dos números racionais não é algebricamente fechado. Nenhum corpo finito é algebricamente fechado, pois se , , …, forem os elementos de , o polinómio

 ··· 

não tem nenhuma raiz em . Em contrapartida, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado; é isto que afirma o teorema fundamental da álgebra. Outro exemplo de corpo algebricamente fechado é o corpo dos números algébricos.

Dado um corpo , a afirmação « é algebricamente fechado» é equivalente a cada uma das seguintes:

  • Qualquer polinómio de grau  ≥ , com coeficientes em ,é produto de polinómios de primeiro grau. Posto de outro modo, há elementos , …,  de tais que
 ··· .
  • O corpo não tem nenhuma extensão algébrica própria.
  • Para cada número natural , qualquer aplicação linear de em si próprio tem algum vector próprio.
  • Qualquer função racional de uma variável , com coeficientes em pode ser escrita como soma de uma função polinomial com funções racionais da forma , sendo um número natural e e pertencem a .

Se for um corpo algebricamente fechado, se for um elemento de e se for um número natural, então tem alguma raiz de ordem em , pois isto é o mesmo que afirmar que a equação tem alguma raiz em . No entanto, há corpos nos quais qualquer elemento tem alguma raiz de ordem  (para cada número natural ) mas que não são algebricamente fechados. De facto, nem mesmo supor que qualquer polinómio do tipo se pode escrever como produto de polinómios de primeiro grau é suficiente para garantir que o corpo é algebricamente fechado.

Como conseqüência do axioma da escolha, qualquer corpo tem um fecho algébrico, que é o menor corpo algebricamente fechado do qual é um subcorpo.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]