Corpo algebricamente fechado

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Em Matemática, um corpo F diz-se algebricamente fechado se qualquer polinómio de uma variável e grau maior ou igual a 1, com coeficientes em F, tiver uma raiz em F.

Por exemplo, o corpo dos números reais não é algebricamente fechado, pois a equação polinomial

3x^2+1=0

não tem soluções reais, apesar de os seus coeficientes (3 e 1) serem reais. O mesmo argumento mostra que o corpo dos números racionais não é algebricamente fechado. Nenhum corpo finito F é algebricamente fechado, pois se a_1, a_2, …, a_n forem os elementos de F, o polinómio

(x-a_1)(x-a_2) ··· (x-a_n)+1

não tem nenhuma raiz em F. Em contrapartida, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado; é isto que afirma o teorema fundamental da álgebra. Outro exemplo de corpo algebricamente fechado é o corpo dos números algébricos.

Dado um corpo F, a afirmação «F é algebricamente fechado» é equivalente a cada uma das seguintes:

  • Qualquer polinómio p(x) de grau n ≥ 1, com coeficientes em F,é produto de polinómios de primeiro grau. Posto de outro modo, há elementos kx_1x_2, …, x_n de F tais que
p(x)=k(x-x_1)(x-x_2) ··· (x-x_n).
  • O corpo F não tem nenhuma extensão algébrica própria.
  • Para cada número natural n, qualquer aplicação linear de F^n em si próprio tem algum vector próprio.
  • Qualquer função racional de uma variável x, com coeficientes em F pode ser escrita como soma de uma função polinomial com funções racionais da forma a/(x+b)^n, sendo n um número natural e a e b pertencem a F.

Se F for um corpo algebricamente fechado, se a for um elemento de F e se n for um número natural, então a tem alguma raiz de ordem n em F, pois isto é o mesmo que afirmar que a equação x^n-a=0 tem alguma raiz em F. No entanto, há corpos nos quais qualquer elemento tem alguma raiz de ordem n (para cada número natural n) mas que não são algebricamente fechados. De facto, nem mesmo supor que qualquer polinómio do tipo x^n-a se pode escrever como produto de polinómios de primeiro grau é suficiente para garantir que o corpo é algebricamente fechado.

Como conseqüência do axioma da escolha, qualquer corpo F tem um fecho algébrico, que é o menor corpo algebricamente fechado do qual F é um subcorpo.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]