Fecho algébrico

Dado um corpo F, um corpo E é um fecho algébrico de F quando E contém todas as raizes de polinómios com coeficientes em F.

Em certo sentido (isomorfismo), cada corpo F tem apenas um fecho algébrico pelo que este é por vezes referido como o fecho algébrico de F.

Teoremas

• Todo fecho algébrico é algebricamente fechado.
• Unicidade: se dois corpos $E_1$ e $E_2$ são fechos algébricos de F, então eles são isomorfos.
• Existência: o axioma da escolha permite construir o fecho algébrico de qualquer corpo.

Exemplos

• O fecho algébrico do corpo dos números racionais é chamado de conjuntos dos números algébricos. Nem todo número algébrico é real (as soluções de x² + 1 = 0, por exemplo), e nem todo número real é algébrico (estes números são chamados de números transcendentes reais; e e pi são exemplos).
• O fecho algébrico do corpo dos números reais é o corpo dos números complexos.

Ligações externas

• Algebraic Closure - MathWorld (em inglês)

Referências

• Martin, Paulo A.. Grupos, Corpos e Teoria de Galois. São Paulo: Livraria da Física, 2010. p. 228--231. ISBN 9788578610654
• Fraleigh, John B.. A First Course in Abstract Algebra (em inglês). 5 ed. [S.l.]: Addilson-Wesley, 1994. p. 418--420. ISBN 0201534673