Matriz (matemática)

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Em matemática, uma matriz é uma tabela de linhas e colunas de símbolos sobre um conjunto, normalmente um corpo, F, representada sob a forma de um quadro. As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Uma matriz é um conjunto retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e colunas. Cada um dos itens de uma matriz é chamado de elemento.

Matrizes de mesmo tamanho podem ser somadas ou subtraídas — soma-se ou subtrai-se cada elemento individualmente. Contudo, a regra que se aplica à multiplicação matricial é diferente: multiplicam-se duas matrizes somente quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda.

Cada elemento de uma matriz é muitas vezes representado por uma variável com dois subscritos. A variável a2,1, por exemplo, representa o elemento da segunda linha e primeira coluna de uma matriz A.

Notação[editar | editar código-fonte]

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com linhas e colunas é chamada de uma matriz por (escreve-se ) e e são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem com elementos naturais.

Um elemento de uma matriz que está na -ésima linha e na -ésima coluna é chamado de elemento ou -ésimo elemento de Ele é escrito como ou . Nesse exemplo, o elemento é , o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, para de 1 a 3 e de 1 a 2, define a matriz de ordem

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento em Fortran corresponde ao elemento em C.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Matriz quadrada[editar | editar código-fonte]

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que tem a mesma quantidade de elementos que Numa matriz quadrada de ordem a diagonal principal é aquela formada pelos elementos tais que , para de a No exemplo abaixo, a diagonal principal é formada pelos seguintes elementos: 1, 0 e 2. Há também a diagonal secundária, que é formada pelos elementos cuja soma dos índices da linha e da coluna é igual a n + 1. Na matriz abaixo, os elementos 1, 0 e 2 constituem a diagonal secundária.

Vetor[editar | editar código-fonte]

Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz (uma linha e colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz (uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

Classificação de matrizes quanto às suas propriedades[editar | editar código-fonte]

Tipo de matriz é quadrada? Tem inversa? Qual é sua transposta? Positiva/ negativa definida?
Matriz identidade Sempre Sim, ela mesma: Ela mesma, (é uma matriz simétrica) Sempre é positiva definida
Matriz inversa Sempre Sim, e é igual à matriz original, Positiva definida se for positiva definida
Matriz singular Sempre Nunca
Matriz simétrica Sempre Não necessariamente Negativa definida se e apenas se todos os valores característicos de forem negativos [1]
Matriz transposta Não necessariamente Não necessariamente
Matriz positiva definida Sempre Sim, e também é positiva definida Sempre é positiva definida
Matriz negativa definida Sempre Sim, e também é negativa definida[1] Sempre é negativa definida

Matriz identidade[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz identidade

A Matriz identidade é a matriz nao quadrada em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo

Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz:

para qualquer matriz de ordem por .

Matriz inversa[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz inversa

Uma matriz é dita inversa de uma matriz se obedece às equações matriciais ou seja, se o produto entre as matrizes é a Matriz identidade.[2] A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

Matriz transposta[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz é a matriz em que ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da linha tornar-se-ão elementos da coluna Exemplo:

Matriz simétrica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz simétrica

Uma matriz é simétrica se Isso só ocorre com matrizes quadradas.

Um tipo especial de matriz simétrica é a matriz idempotente.

Matriz positiva/negativa (semi)definida[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz positiva definida

A classificação de uma matriz em positiva ou negativa definida ou semi-definida é similar à classificação dos números reais em positivos ou negativos.

Seja uma matriz quadrada de dimensão e um vetor não nulo (ou seja, que tenha pelo menos um elemento diferente de zero) de dimensão Note que se temos a definição de número real positivo ou negativo.

Tipo de matriz Semi-definida Definida
Positiva positiva semidefinida se é positiva definida se
Negativa é negativa semidefinida se [1] é negativa definida se

Operações envolvendo matrizes[editar | editar código-fonte]

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação de um número real por uma matriz[editar | editar código-fonte]

A multiplicação de um número real por uma matriz é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número real qualquer por uma matriz basta multiplicar cada elemento de por Assim, a matriz resultante será também e [3] Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Por exemplo:

Adição e subtração entre matrizes[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Adição de matrizes

Dado as matrizes e do tipo por sua soma é a matriz por computada adicionando os elementos correspondentes:[4]

Por exemplo:

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer você usará

Lembre-se: Você só pode fazer isso com uma matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em o que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Produto de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se é uma matriz por e é uma matriz por então seu produto é a matriz por ( linhas e colunas) dada por:[5]

para cada par e

Por exemplo:

É importante notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, existem matrizes e tais que


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Determinante[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Determinante

O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.

Transposta da multiplicação[editar | editar código-fonte]

Para respeitar a correspondência entre linhas e colunas de uma multiplicação, a transposta de uma multiplicação de matrizes é dada como a transposta de cada matriz multiplicada na ordem inversa.

Para o caso de duas matrizes:

No caso de várias matrizes:

Característica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Posto matricial

A característica ou posto de uma matriz é um inteiro não negativo que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes.[6]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
Wikilivros Livros e manuais no Wikilivros
  • O conjunto das matrizes sobre um corpo com as operações de soma de matrizes e multiplicação de escalar por matriz forma um espaço vetorial de dimensão sobre
  • O espaço vetorial das matrizes sobre um corpo com a operação de multiplicação de matrizes forma uma álgebra associativa com elemento identidade sobre o corpo
  • O conceito de matriz pode ser generalizado para o de tensor. Assim como uma matriz representa uma transformação linear de um espaço de dimensão em um espaço de dimensão , um tensor representa uma transformação n-linear que leva vetores em

Referências

  1. a b c MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory. Oxford University press, 1995. Section M.D matrices: Negative (Semi)Definiteness and Other properties, página 936.
  2. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 27
  3. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 19-20
  4. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 18
  5. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 20
  6. Condensação e característica de uma matriz, Universidade dos Açores
  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. (São Paulo: Atual). ISBN 9788570562975.