Matriz idempotente

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Em álgebra, uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma, resulta em si mesma. [1] [2] Em outras palavras, a matriz A, é idempotente se e somente se AA = A[3] . Para que este produto AA seja possível, A deve necessariamente ser uma matriz quadrada.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Matrizes idempotentes são sempre positivas semi-definidas.[4]
  • Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, não admite inversa:
    I=AA^{-1}=A^2A^{-1}=A \left (AA^{-1} \right )=A
  • Se uma matriz A é idempotente, a matriz I-A também é.[3]

Matriz de projeção[editar | editar código-fonte]

É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas.[5] Seja X uma matriz de dimensão nXk com posto (X)=k. A Matriz de projeção é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:

P\equiv X \left (X^TX \right )^{-1}X^T, onde X^T denota a matriz transposta de X e \left (X^TX \right )^{-1} denota a matriz inversa da matriz X^TX . Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que PX=X [6] .

  • Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a matriz X de dimensão nXk em duas matrizes X_1 e X_1 de tal forma que X=\begin{bmatrix} X_1 & X_2 \end{bmatrix}, então
PX_1=X_1:[7]

Por exemplo, sejam as matrizes X=\begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix}, X_1=\begin{bmatrix} {a} \\ {c} \end{bmatrix}, X_2=\begin{bmatrix} {b} \\ {d} \end{bmatrix}. Então,

PX_1=\begin{matrix} \underbrace{ X \left (X^TX \right )^{-1}X^T } \\ P \end{matrix}*\begin{bmatrix}{a} \\ {c} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix} \left (\begin{bmatrix} {a} & {c} \\ {b} & {d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix}\right )^{-1}\begin{bmatrix} {a} & {c} \\ {b} & {d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {a} \\ {c} \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix} \left (\begin{bmatrix} {a}^2+{c}^2 & {a}{b}+{c}{d} \\ {a}{b}+{c}{d} & {b}^2+{d}^2 \end{bmatrix} \right )^{-1}\begin{bmatrix} {a}^2+{c}^2 \\ {a}{b}+{c}{d} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {a} \\ {c} \end{bmatrix}


  • A matriz de projeção é largamente utilizadas em econometria. Na estimação por mínimos quadrados ordinários, por exemplo, a matriz P gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (hat matrix, em inglês)[7] :
Py =\left (X^TX \right )^{-1}X^Ty = X\hat \beta=\hat y
  • P é sempre positiva semi-definida.
  • Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.

Matriz de aniquilação[editar | editar código-fonte]

  • Matriz de aniquilação: M \equiv I_n-P \equiv  I_n - X \left (X^TX \right )^{-1}X^T. Esta matriz é chamada de matriz de aniquilação porque sempre é verdade que MX=0.[6]

A matriz aniquiladora também é bastante útil em econometria. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários

y=X \beta + \varepsilon = X_1 \beta_1 + X_2 \beta_2 +\varepsilon, sendo X_1,X_2,\beta_1,\beta_2 matrizes, poderemos definir
M_1 \equiv  I_n - X_1 \left (X_1^TX_1 \right )^{-1}X_1^T e
M_2 \equiv  I_n - X_2 \left (X_1^TX_2 \right )^{-1}X_2^T

E então podemos estimar os coeficientes separadamente[8] :

\hat \beta_1 =\left (X_1^TM_2X_1 \right )^{-1}\left (X_1^TM_2y \right )
\hat \beta_2 =\left (X_2^TM_1X_2 \right )^{-1}\left (X_2^TM_1y \right )

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Chiang, Alpha C. (1984), p. 80.
  2. Greene, William H. (2003), pp. 808–809.
  3. a b CHEN, Mei Yuan (2003)
  4. WOOLDRIDGE, p. 104.
  5. WOOLDRIDGE
  6. a b HAYASHI, Fumio (2000), p. 18
  7. a b HANSEN, Bruce (2011) p. 77
  8. HANSEN, Bruce (2011) p. 80

Referências[editar | editar código-fonte]

  • CHEN, Mei Yuan. Matrix Algebra for econometrics. Julho de 2003. National Chung Hsing University. Disponível em: <http://web.nchu.edu.tw/~finmyc/MAT-ALG1.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Seção 5.4: Idempotent Matrices.
  • Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw–Hill, 3rd edition, 1984: p. 80.
  • Greene, William H., Econometric Analysis, Prentice–Hall, 5th edition, 2003: pp. 808–809.
  • WOOLDRIDGE. Introdução à Econometria. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.
  • HAYASHI, Fumio. Econometrics. Princeton University Press. 2000. ISBN-10: 0-691-01018-8. Página 18.
  • HANSEN, Bruce. Econometrics. Janeiro de 2011. Disponível em: <http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.
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