Matriz densidade

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Em mecânica quântica, uma matriz densidade, ou operador densidade, é uma matriz semidefinida positiva auto-adjunta (ou Hermitiano), (dimensionalmente possivelmente infinita), de traço um, que descreve o estado estatístico de um sistema quântico. O formalismo foi introduzido por John von Neumann (e de acordo com outras fontes, independentemente por Lev Landau e Felix Bloch) em 1927.


Mecânica quântica
Princípio da Incerteza
Introducão a...

Formulação matemática


Estados Mistos e Puros[editar | editar código-fonte]

Quando uma medida é operada em um sistema quântico, ela só possui sentido se for utilizado o conceito de média de ensemble, ou seja, sistemas a priori identicamente preparados. Após a realização da medida obtêm-se uma caracterização estatística dos constituintes do estado final total, composto por todos os subsistemas onde a medição fora realizada. Por exemplo, após a realização de um experimento Stern-Gerlach, sabemos que o estado físico do feixe de átomos de prata após a interação com o campo magnético externo possui uma população de 50% dos seus átomos colapsados em um estado de spin para cima e a parcela restante, também composta por 50%, possui spin para baixo. Entretanto, ao sair do forno, ou em outras palavras, antes da medição, não podemos caracterizar os estados físicos dos átomos que constituem o feixe; o spin individual de cada átomo pode estar apontando para qualquer direção, utilizando termos gerais, o estado físico é randômico.

Para o caso dos sistemas físicos onde não ocorreu uma medição, sabemos que eles são compostos por um número finito de constituintes, de forma que podemos atribuir um peso a sua população relativa de um dado estado particular, ou seja,

Nesta equação, é o ket que representa o sistema físico antes de uma medida, os coeficientes configuram os pesos dados pela população fracionária que possui em comum a representação do ket e N é o número de indivíduos no ensemble, ou o número de sistemas identicamente preparados. Nesse caso, deve-se tomar cuidado para não confundir o número de indivíduos que compõem o sistema com a dimensão do espaço gerado pelos autovetores de um dado observável, N geralmente supera com folga a dimensão do auto-espaço de um dado operador.  Como estamos tratando de uma população fracionária, obviamente, a soma dos pesos deve ser a unidade. Somos impostos a condição

Além disso, não se tem nenhuma informação geométrica dos kets mediados pelos Eles podem muito bem ser ortogonais entre si, como não, podem ser autovetores de um operador em comum como também o podem não ser e nem sabemos se os operadores que os representam são compatíveis ou não. Sendo assim, podemos definir a natureza estatística deste conjunto; antes de realizarmos a medida em um sistema composto pela população de estados físicos, considerando que exista mais de um diferente de zero, dizemos que configura um ensemble misto. Agora, após a realização de uma medida, podemos analisar em sua totalidade a parte da população fracionária caracterizada por um certo estado físico em comum, ou seja, a coletânea de sistemas físicos tais quais são representadas por um único ket. Para este último caso, damos o nome de ensemble puro. Ou seja, um ensemble misto é composto por uma coleção de ensembles puros.

Construção do Operador Densidade[editar | editar código-fonte]

Considerando a medida de algum observável, essa o qual só será possibilitada a partir de uma média sobre ensembles, como por exemplo o observável , que na construção formal da mecânica quântica é um operador, obtemos para sua média

Valendo a equação de autovalores , obtêm-se,

A partir deste resultado, deve-se alertar a construção de duas estatísticas independentes na obtenção de uma única medida, os pesos populacionais de cada estado físico, compõem uma abordagem estatística que acaba mediando a média de ensemble das previsões quânticas, que também constituem um escopo estatístico em si.

O formalismo quântico permite quantas mudanças de base forem necessárias, de forma que podemos escrever,

O termo destacado entre parenteses é definido como elemento de matriz de um certo operador hermitiano, denominado matriz densidade ou ainda, operador densidade

Sendo assim, a forma geral do operador é dada por,

Considerando esta construção, a expressão para toma uma forma muito mais compacta,

   

Onde a operação corresponde ao traço do operador resultante do cálculo de , ficando assim explicita o poder generalizado desta construção: o traço independe da representação.

Resumidamente, encontramos que a média sobre ensemble de um observável é dada por,

Agora, analisando o traço do operador identidade separadamente, temos que,

Agora, para um ensemble puro, onde a população relativa torna-se total, com teremos a matriz densidade

     

Daí, tem-se que,

Ou seja, é um projetor,

Então, somente para um estado puro,

Sendo assim, os autovalores associados ao operador densidade de ensembles puros deve sempre ser zero ou um, de forma que quando diagonalizamos a matriz densidade esperamos encontrar um objeto matemático na forma de,

Em contrapartida, um ensemble totalmente misto deve possuir a matriz densidade , com a estrutura,

É obvia a confrontação frente duas matrizes diagonais N-dimensionais, sujeitas a mesma condição de normalização, que representam objetos físicos diametralmente opostos. É conveniente então a definição de uma grandeza que distingua as qualidades físicas intrínsecas a cada objeto. Com este espírito, defini-se a Entropia de Von Neumann,

Como todos os elementos não diagonais de ambas as matrizes são nulos, pode-se escrever a forma diagonal da entropia,

Para um ensemble completamente misto, teremos a entropia , dada por,

   

Em contrapartida, o operador densidade relacionado a um estado puro, resulta em uma entropia nula,

   

É valida a observação de que nesta definição entropica, recupera-se a interpretação da medida de desordem de um sistema, o seu caos. Ludwig Boltzmann relacionou a saturação energética natural dos sistemas termodinâmicos, a entropia S, com o número de microestados possíveis  que podem ser acessados ao mesmo, apresentando a equação que hoje consta em sua lápide, . Sendo assim, para pequenos valores de , tem-se uma baixa entropia, além de que para um único estado possível, , ocasiona entropia nula, correspondentemente idêntico ao caso puramente quântico explicitado na entropia de Von Neumann para um estado puro.

Progressão temporal de um Ensemble estatístico[editar | editar código-fonte]

A fim de avaliar a evolução temporal do operador densidade, é possível tomar sua derivada temporal, onde aprioristicamente não é considerada uma dependência exclusivamente temporal. Além disso, as populações mantém-se estáticas, sendo assim,

Neste regime é valida a substituição heurística,

 

Sendo assim, a derivada temporal assume a forma,

Ou seja, obtém-se,

   

Esta equação pode ser interpretada como o análogo quântico do teorema de Liouville.

Representação dos Ensembles Micro-Canônico e Canônico quânticos[editar | editar código-fonte]

A conexão entre a mecânica estatística e a mecânica quântica é motivada a partir do segundo postulado da termodinâmica,

Postulado II: Pode-se supor a existência de uma função, chamada entropia, que depende apenas das variáveis extensivas do problema, cujo máximo fornece a configuração de equilíbrio do sistema termodinâmico sob análise.

Levanto em frente as consequências do segundo postulado, pode-se extrair informações a respeito dos ensembles estatísticos a partir da extremização da entropia de Von Neumann, logo,

   

É obrigada a restrição sobre este máximo de que a conservação da probabilidade seja confirmada, de forma que inclui-se a restrição,

   

Sendo assim, a junção entre a restrição imposta e a extremização da entropia é dada via multiplicadores de Lagrange,

Se considerarmos uma variação arbitrária, ela só será possível se o objeto sobre soma for nulo de forma que encontramos,

   

Podemos determinar a constante a partir de uma simples normalização, obtendo , recupera-se então a expressão para

Esse resultado confirma o sucesso da construção; em seu estado mais fundamental, remonta o ensemble micro-canônico; nesse caso, se considerarmos que não existe degenerescência, cada estado é caracterizado por um ket específico configurando um microestado. Como o peso estatístico de cada microestado é o mesmo, , encontra-se naturalmente a hipótese de microestados igualmente prováveis a priori, uma das hipóteses pioneiras no desenvolvimento de uma mecânica estatística consistente.

Embora tenha sido estabelecida a construção coerente da mecânica estatística quântica, um caso mais rico em aplicações pode ser obtido se somarmos uma restrição na extremização da entropia de Von Neumann,

   

ou seja, a média de energia possui um valor estabelecido. Sob mais esta condição, que remonta um sistema físico em equilíbrio térmico com uma fonte, teremos para uma maximação da entropia,

 

Sendo assim,

   

Pode-se determinar a constante a partir de uma normalização direta, da qual obtém-se

   

A expressão no denominador remonta um conceito muito explorado na mecânica estatística clássica, a função partição

Sendo assim, a matriz densidade no ensemble canônico, é expressa por,

 

Uma vez determinada a matriz densidade de um certo sistema físico, é possível analisar a magnitude dos seus valores médios. Se considerarmos o observável de interesse, teremos para o seu valor médio

Um caso específico a ser tratado nos problemas de mecânica estatística é a determinação da energia média de um sistema também chamada de energia interna Teremos,

   

Equivalentemente na mecânica estatística clássica, onde,

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Sakurai, J. J., and Jim Napolitano. Mecânica Quântica Moderna. bookman, 2013.
  2. Pathria, R. K., and Paul D. Beale. "Statistical mechanics, 1996." Butter worth.
  3. Cohen-Tannoudji, Claude, Bernard Diu, and Franck Laloë. Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck Laloë: Quantenmechanik. Vol. 1. Walter de Gruyter, 2013.
  4. Tokmakoff, Andrei. "5.74 Introductory Quantum Mechanics II, Spring 2009.(Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare)."